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wie berechne ich das Potential eines Vektorfeldes

Universität / Fachhochschule

Sonstiges

Tags: potential bestimmen, Sonstiges, Vektoranalysis

sweetlady aktiv_icon

11:34 Uhr, 28.01.2014

Hallo Allerseits

ich versuche gerade das Potential eines Vektorfeldes zu berechnen

. .

. aber iwie komme ich nicht weiter

...

.
ich weiß wie ich beweisen kann dass das Potential ex. aber die Bestimmung des Potential ist für mich wirr..

also der Vektorfeld ist

: v (x) = (e^{- x} - e^{x}

-ye^-x,

e^{- x})^{T}

wie mache ich das ? kann jmd es mir schritt für schritt erläutern?

lg

sweets

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DerDepp aktiv_icon

14:42 Uhr, 28.01.2014

Hossa :-)

Vektorfelder

\vec{v}

und ihre Potentiale

p

stehen in folgendem Zusammenhang:

\vec{v} = - grad p

In deinem Fall haben wir zwei Dimensionen und die obige Gleichung lautet:

\vec{v} (x, y) = - (\begin{array}{c} \frac{\partial p (x, y)}{\partial x} \\ \frac{\partial p (x, y)}{\partial y} \end{array})

Setzen wir das Vektorfeld

\vec{v} (x, y)

ein, finden wir:

(\begin{array}{c} e^{- x} - e^{x} - y e^{- x} \\ e^{- x} \end{array}) = - (\begin{array}{c} \frac{\partial p (x, y)}{\partial x} \\ \frac{\partial p (x, y)}{\partial y} \end{array})

Die untere Gleichung ist die einfachere, weil

y

auf der linken Seite überhaupt nicht auftaucht:

e^{- x} = - \frac{\partial p (x, y)}{\partial y}

Integration nach

y

ergibt:

y e^{- x} + g (x) = - p (x, y)

Dabei ist die Funktion

g (x)

quasi eine "Integrationskonstante", die beim Ableiten nach

y

wieder verschwinden würde. Wir wissen also, dass

p (x, y)

folgende Form haben muss:

p (x, y) = - y e^{- x} - g (x)

Zur Bestimmung der "Integrationskontante"

g (x)

nutzen wir die erste Gleichung und setzen darin

p (x, y)

ein, soweit wir es schon kennen:

e^{- x} - e^{x} - y e^{- x} = - \frac{\partial p (x, y)}{\partial x} = - \frac{\partial}{\partial x} (- y e^{- x} - g (x)) = \frac{\partial}{\partial x} (y e^{- x} + g (x)) = - y e^{- x} + g ʹ (x)

Ganz links und ganz rechts stehen nun zwei Terme, in denen

- y e^{- x}

vorkommt, so dass wir diesen Anteil auf beiden Seiten subtrahieren könnnen. Übrig bleibt:

e^{- x} - e^{x} = g ʹ (x)

bzw. integriert:

g (x) = - e^{- x} - e^{x} + const.

Damit ist das Potential fertig gebaut:

p (x, y) = - y e^{- x} + e^{- x} + e^{x} + const.

Ok?

sweetlady aktiv_icon

17:55 Uhr, 28.01.2014

Hallo

aaaah ja jetzt ist mir einiges Klar geworden , Ich kam Immer durcheinander mit der Bestimmung von

g (x)

also von der

x

abhängige konstante

... ... ...

. vielen Dank :-)

wünsche dir ein schönen Abend

sweets

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