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Winkel im Viereck
Schüler Fachschulen, 6. Klassenstufe
Tags: Geometrie
 
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anonymous 17:46 Uhr, 20.02.2007  |
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Da taucht bei uns nun auch mal eine Frage auf: Wie viele spitze Winkel hat ein Viereck (kein Rechteck) mindestens, wie viele höchstens? Die gleiche Frage gilt für stumpfe bzw. überstumpfe Winkel. Kann uns da jemand helfen? |
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anonymous 06:26 Uhr, 21.02.2007 |
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Hallo, fangen wir mit dem einfachen an, den überstumpfen Winkeln. Zeichnet zunächst einfach ein Rechteck als Ausgangsviereck und verschiebt einen Punkt etwas nach außen. Nun verbindet ihr den neuen Punkt mit den beiden benachbarten Punkten und ihr habt ein Viereck, daß den Anforderungen genügt (es ist kein Rechteck) und es hat keinen überstumpfen Winkel. Also haben die Vierecke mindestens Null überstumpfe Winkel. Kann ein Viereck mehr als einen überstumpfen Winkel haben. Ein überstumpfer Winkel hat eine Größe von mehr als 180°. Zwei oder mehr überstumpfe Winkel in einem Viereck würden dazu führen, daß die Innenwinkelsumme über 360° wäre, das kann aber nicht sein. Also kann ein Viereck maximal einen überstumpfen Winkel haben. Bleibt nur noch zu klären, ob es ein Viereck mit einem überstumpfen Winkel auch gibt! Natürlich gibt es das, ihr könnt eines zeichnen, das genügt als Beweis. Zeichnet einfach einen Winkel mit Spitze nach oben und knapp unter der Spitze zeichnet ihr éinen Punkt und verbindet den mit den Enden des Winkels. Das ist schon alles zu den überstumpfen Winkeln. Nun der schwerere Teil, die spitzen und die stumpfen Winkel. Wir betrachten zunächst mal nur Vierecke, die keinen überstumpfen Winkel haben! Wenn ihr ein Viereck habt, das den Voraussetzungen entspricht (und nicht einen überstumpfen Winkel hat), dann hat es nicht nur rechte Winkel. Ihr findet also eine Ecke, in der der Winkel ungleich 90° ist. Diese Ecke hat eine benachbarte Ecke, egal ob die rechte oder die linke. Diese beiden Winkel haben eine Winkelsumme! Die Winkelsumme kann kleiner als 180° sein, dann muß aber einer der beiden Winkel spitz gewesen sein, denn zwei stumpfe Winkel ergeben eine Summe, die größer als 180° ist und beide können nicht rechtwinklig gewesen sein, da wir ja einen nicht rechtwinkligen Winkel als Basis genommen haben. Es gibt also in diesem Fall mindestens einen spitzen Winkel. In diesem Fall gilt aber für die beiden restlichen Winkel, daß ihre Summe größer als 180° sein muß, damit die Innenwinkelsumme 360° ist. Wenn die Summe zweier Winkel größer als 180° ist, dann ist aber mindestens einer der beiden Winkel stumpfwinklig. Wäre nämlich keiner der beiden stumpfwinklig, könnte die Summe der beiden Winkel maximal 180° sein. Wir haben also in diesem Fall auch mindestens einen stumpfen Winkel. Die Winkelsumme der zwei zuerst gewählten Winkel könnte aber auch gleich 180° sein. Wir wissen, daß der eine der beiden Winkel nicht 90° ist. Wenn die Summe der beiden Winkel aber genau 180° ist, dann müssen die beiden Winkel ein spitzer und ein stumpfer Winkel sein. Wir haben also auch in diesem fall, daß es mindestens einen spitzen und mindestens einen stumpfen Winkel gibt. Die Winkelsumme der zwei zuerst gewählten Winkel könnte aber auch größer als 180° sein. Dann nehme ich einfach die beiden anderen Winkel und habe eine Winkelsumme die kleiner als 180° ist und ich weiß, daß nicht beide anderen Winkel rechtwinklig sein können. Dann bin ich im ersten Fall und weiß, daß ich mindestens einen spitzen und mindestens einen stumpfen Winkel habe. Ich kann ein beliebiges Viereck ohne überstumpfen Winkel nehmen, es hat immer mindestens einen spitzen und einen stumpfen Winkel. Wieviele spitze und stumpfe Winkel sind in einem solchen (aber auch einem beliebigen) Viereck maximal möglich? Wären vier stumpfe Winkel möglich, wäre die Innenwinkelsumme größer als 360°, also kann es maximal 3 stumpfe Winkel geben. Wären vier spitze Winkel möglich, wöre die Innenwinkelsumme kleiner als 360°, also kann es maximal 3 spitze Winkel geben. Jetzt müßt ihr nur noch ein Viereck mit 3 stumpfen Winkeln zeichnen und eins mit 3 spitzen Winkeln. Empfehlung: zeichnet zwei Winkel mit der Spitze nach unten, der eine Winkel mit 100°, der andere mit 80°. Macht die Seiten auf den Schenkeln der zwei Winkel gleich lang und trägt in den Punkten den selben Winkel ab, den ihr unten habt, also bei zwei Punkten jeweils 100° und bei den anderen beiden Punkten jeweils 80°. Wenn ihr die mit den korrekten Gradzahlen abgetragenen Schenkel miteinander verbindet, dann habt ihr einmal ein Viereck mit 3 mal 100° (3 stumpfe Winkel) und 1 mal 60° (spitzer Winkel) und einmal ein Viereck mit 3 mal 80° (3 spitze Winkel) und einmal 120° (stumpfer Winkel). Damit kann es tatsächlich Vierecke geben, die die maximale Anzahl von stumpfen und spitzen Winkeln haben. Damit gilt für alle Vierecke, daß sie maximal 3 stumpfe und maximal 3 spitze Winkel haben können. Jetzt bleiben nur noch die Vierecke, die einen überstumpfen Winkel haben. Würden diese ansonsten keine spitzen Winkel haben, wäre die Innenwinkelsumme größer als 360°, also haben auch sie mindestens einen spitzen Winkel. Daß sie maximal 3 spitze Winkel haben können ist klar, der vierte Winkel ist ja überstumpf. Gibt es ein Viereck mit einem überstumpfen Winkel und 3 Siptzen Winkeln? Ja, zeichnet einfach einen sehr spitzen Winkel, und knapp über der Spitze den vierten Viereckspunkt. Verbindet diesen Punkt mit den Winkeln und ihr habt ein Viereck mit einem überstumpfen Winkel und 3 spitzen Winkeln. Dieses Viereck hat aber keinen stumpfen Winkel. Also gilt für alle Vierecke nicht mehr, daß sie mindestens einen stumpfen Winkel haben. Für alle Vierecke gilt "nur noch", daß mindestens einer der Winkel stumpf oder überstumpf ist! Gibt es aber Vierecke mit einem überstumpfen Winkel, die auch noch einen stumpfen Winkel haben? Ja, zeichnet einfach einen stumpfen Winkel mit z.B. 150° und knapp über der Spitze den vierten Viereckspunkt und verbindet ihn mit den Enden des Winkels. Jetzt habt ihr ein Viereck mit einem überstumpfen und einem stumpfen Winkel. Zusammenfassung: Jedes den Vorgaben entsprechende Viereck hat mindestens 1 spitzen und maximal 3 spitze Winkel. Stumpfe Winkel gibt es maximal 3, die Mindestanzahl ist aber Null! Überstumpfe Winkel gibt es maximal 1, die Mindestanzahl ist Null. Faßt man die stumpfen und die überstumpfen Winkel zusammen, so gibt es mindestens einen Winkel, der entweder stump oder überstumpf ist. Mann, ihr könt vielleicht Aufgaben haben! |
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Danke für die prompte HIlfe! Julian |
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