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x^n gleichmäßig stetig?

Universität / Fachhochschule

Stetigkeit

Tags: gleichmäßig stetigkeit

Squall aktiv_icon

20:10 Uhr, 28.05.2011

Also ich soll

x^{n}

mit

n \geq 2

auf gleichmäßige stetigkeit überprüfen. Dass es nicht gleichmäßig stetig ist ist klar, nur ich komme auf keine vernünftige mathematische Lösung. Reicht es auch zu zeigen, dass

x^{2}

nicht gleichmäßig stetig ist? weil für

n > 2

wird die funktion ja noch "Weniger gleichmäßig stetig", falls ich das mal so unsauber formulieren darf^^. Habe es auch schon mit der Negation der Definition von gleichmäßiger Stetigkeit probiert aber da komme ich noch weniger weiter.

Denke die mathematische Definition von gleichmäßiger Stetigkeit muss ich nicht nochmal explizit hinschreiben, weiß auch gar nicht wie ich das hier machen soll.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

joannedough aktiv_icon

22:28 Uhr, 28.05.2011

Hallo,

hier nur schnell ein kleiner Hinweis, ich habe es selbst auch nicht gerechnet. Ich würde versuchen, es durch Widerspruch zu beweisen.

Zunächst darf ich mal annehmen, die Definitionsmenge ist

ℝ,

denn auf einem kompakten Intervall wäre die gleichmäßige Stetigkeit gegeben.

Du wählst ein

ε

(Abstand in y-Richtung) und nimmst an, dass es ein

δ

(Abstand in x-Richtung), so dass für alle Paare

x, x_{0},

die weniger als

δ

auseinanderliegen, dann die Funktionswerte weniger als

ε

auseinanderliegen. Das ist also die Annahme, dass die Funktion auf

ℝ

gleichmäßig stetig ist.

ε

kann fest gewählt werden,

z . B

ε = 0,1,

denn es genügt ja zum Gegenbeweis, dass es für ein einziges

ε

kein globales

δ

gibt.

Ich würde dann das Intervall

[x; x + \frac{δ}{2}]

wählen und schauen, wie groß man

x

wählen muss, damit der Abstand

| f (x + \frac{δ}{2}) - f (x) |

garantiert größer als

0,1

wird.
Das ganze läuft auf eine Ungleichung hinaus, die man wohl durch irgendeine Abschätzung vereinfachen muss.

Hilft dir das weiter?

vg, Joanne

Squall aktiv_icon

01:39 Uhr, 29.05.2011

jupp die Abbildung lautet:

f : ℝ \to ℝ

(n-te

\sqrt{x^{n} + ε} - x) \cdot 2 > δ

habe ich nach umformung erhalten wenn ich mit deinem vorschlag rechne ( kA wie man n-te wurzel schreibt xD)
dann habe ich gesagt, dass

lim x \to

unendlich(n-te

\sqrt{x^{n} + ε} - x) \cdot 2

gegen Null geht, weil

ε

in der Unendlichkeit hinfällig wird und n-te

\sqrt{x^{n}} = x

Somit kann man

δ

nicht unabhängig von

x

wählen und die funktion ist nicht gleichmäßig stetig.

keine ahnung ob das richtig ist, wenn ja, dann würde ich gerne noch eine Bestätigung deinerseits lesen^^

pwmeyer aktiv_icon

08:23 Uhr, 29.05.2011

Hallo,

es wird etwas einfacher, wenn Du folgender Abschätzung benutzt für

x \geq 0

(mit der binomischen Formel:

f (x + δ) - f (x) = {(x + δ)}^{n} - x^{n} = x^{n} + n \cdot x^{n - 1} \cdot δ + . .

- x^{n} \geq n \cdot x^{n - 1} \cdot δ

Alternativ kannst Du die Differenz der Funktionswerte auch mit dem Mittelwertsatz abschätzen.

Gruß pwm

Squall aktiv_icon

13:33 Uhr, 29.05.2011

Meinst du, dass ich dann mit

{(x + δ)}^{n} - x^{n} \geq n \cdot x^{n - 1} \cdot δ < ε

arbeiten soll, oder wie ist das gemeint? Dann müsste ich nur noch nach

δ

auflösen.
Also:

δ < \frac{ε \cdot x}{n \cdot x^{n}}

joannedough aktiv_icon

16:17 Uhr, 29.05.2011

Hi,

du kannst

δ

nicht frei wählen, denn das

δ

hast du ja aus der Annahme bekommen, dass

f

gleichmäßig stetig ist. Für dieses

δ

soll für alle Paare

x, x_{0},

die weniger als

δ

auseinanderliegen, angeblich auch die Differenz der Funktionswerte weniger als

ε

betragen, und das wollen wir zu einem Widerspruch führen, indem wir zeigen, dass man

x

so wählen kann, dass die Differenz der Funktionswerte garantiert nicht kleiner als

ε

ist, auch wenn

x, x_{0}

weniger als

δ

auseinanderliegen.

Du musst

x

so wählen, dass für das Intervall

[x; x + \frac{δ}{2}]

dann im Widerspruch zur Annahme

| f (x + \frac{δ}{2}) - f (x) |

trotzdem

> ε

ist, wodurch sich ein Widerspruch ergibt.

O . B . d . A

. ist

x > 0,

denn es reicht ja, ein Paar für von Werten

x, x_{0}

zu finden, für die das nicht geht.

Wenn ich mich nicht verrechnet habe, müsste es da

x = 4 \frac{ε^{- n + 2}}{δ^{- n + 2}}

tun, denn mit dieser Wahl von

x

ist der Abstand der Funktionswerte (die Summe geht mit 1 los, denn

x^{n}

hat sich weggehoben)

| \sum_{k = 1}^{n} (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) {(4 \frac{ε^{- n + 2}}{δ^{- n + 2}})}^{n - k} \cdot {(\frac{δ}{2})}^{k} |

und davon ist schon der erste Term gleich

2 \cdot n \cdot ε,

und da alle Terme

> 0

sind, ist damit auch die Summe nicht

< ε

.

Bitte prüfe das kritisch, ich kann mich auch verrechnet haben!

vg, Joanne

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