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zu zeigen: Polynome bilden Vektorraum
Universität / Fachhochschule
Polynome
Vektorräume
Tags: polynom, reell, Vektorraum
 
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anonymous 23:21 Uhr, 02.11.2013  |
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Hi Leute, ich bin mal wieder bei einer Fragestellung angelangt, wo ich einfach nicht weiß, wie ich das Ganze angehen soll. Es geht um den Nachweis von Vektorräumen. Das hier ist die Angabe: "Sei Element von mit 0. Zeigen Sie: Die Menge aller reellen Polynome vom Grad höchstens bildet einen R-Vektorraum." Ja.. wie fang ich da jetzt an? Ich hab schon alle acht Vektorraum-Axiome hingeschrieben... aber und oder wie man sie nennen will sind ja Vektoren... keine Polynome!? Welche Annahmen muss ich denn davor selbstständig treffen? Ich weiß einfach nicht, wie man so einen total abstrakten Beweis angeht, zumal die Angabe ja recht spärlich ausfällt... Kann mir bitte jemand helfen? Stupser in die richtige Richtung? :-) Vielen Dank schonmal... Schönen Abend noch! Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hi, also, der Denkfehler ist hier, dass du zwischen Vektoren und Polynomen unterscheidest. Wenn ein Vektorraum ist und , dann ist per Definition ein Vektor, völlig egal, welche Elemente enthält. Und wenn du nachweist, dass alle Polynome vom Grad höchstens einen Vektorraum bilden, dann sind Polynome eben auch Vektoren. Ein Vektor ist NICHT ausschließlich Dies sind -Tupel! Um einen Vektorraum zu erhalten brauche ich eine Menge und zwei Verknüpfungen auf dieser Menge, die definiert werden müssen. Wenn dann die Vektorraumaxiome erfüllt sind, dann habe ich einen Vektorraum. Der Raum der -Tupel mit der Standard-Tupeladdition und skalaren Multiplikation bildet einen Vektorraum. Dann sind -Tupel AUCH Vektoren. Es gibt aber halt noch viel mehr. Was deine Aufgabe betrifft, so kann man jedes Polynom vom Grad höchstens schreiben als . Nun sollte irgendwo in der Vorlesung/Übung/Tutorium die Addition und skalare Multiplikation von Polynomen erklärt sein. Dann gilt es noch nachzuweisen, dass die Vektorraumaxiome erfüllt sind. Liebe Grüße Sina |
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anonymous 09:55 Uhr, 04.11.2013 |
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Hallo, vielen Dank für die ausführliche Antwort! Jetzt ist mir schon mal ein kleines Licht aufgegangen :-) Das der Begriff des Vektors weiter gestreut sein muss als ich bisher dachte, klingt einleuchtend! Skalare Multiplikation und Addition haben wir in der Übung gemacht... Das ist ja das hier: 1. . (Umformung in Summenschreibweise) 2. (α α . Meine Frage wäre nun noch, woher weiß ich dass die Vektorraumaxiome erfüllt sind? Ich habe ja keine konkreten Vektoren gegeben, anhand derer ich das nachweisen könnte... Sondern ich schreib die aus meiner VL-Mitschrift hab und forme sie dann mithilfe vom Distributiv-/Assoziativ-/Kommutativgesetz um und wieder zurück. . sind diese Axiome dann nicht immer gültig? Mathematische Umformungen funktionieren ja immer gleich! Bzw. was wäre denn ein Fall wo die Axiome nicht erfüllt sind? Ich hoffe man versteht was ich meine... ich kann mir das so schlecht vorstellen! ;-) Vielen Dank! |
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Hallo, ich denke schon, dass ich verstehe, was du meinst :-) Und du hast irgendwie recht, bei allen Fällen, die man aus Übungszwecken betrachtet, wird es wirklich einfach sein, die Axiome nachzuweisen, da die Umformungen immer ähnlich sind. Aber man kann natürlich irgendeinen Quatsch definieren, z.B. betrachten wir die Menge (also den Raum der Polynome mit reellen Koeffizienten vom Grad höchstens ) und den Körper . Jetzt definieren wir die Addition auf so wie für Polynome üblich und die skalare Multiplikation als . Dabei ist ein Symbol für meine neue Definition und die übliche Multiplikation eines Polynomes mit einem Skalar (wie in der Übung definiert). Nun sind beinahe alle Axiome erfüllt (Distributivität, Assoziativität etc.), jedoch gilt nicht . Damit ist dieses Axiom nicht erfüllt und kein Vektorraum. Aber ich gebe zu, dieses Beispiel ist albern und mir fällt auch gerade kein besseres ein, ohne weiter auszuholen. Solltest du später mal Algebra besuchen, dann wirst du auch Strukturen sehen, die nicht so schön sind, wie Vektorräume. Aber die sind dann meistens kompliziert... Lieben Gruß Sina |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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