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2-Sinuskurven-Schnittpunkte-finden

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Funktionalanalysis

Funktionen

Tags: Differentiation, Funktion, Funktionalanalysis

Dima-90 aktiv_icon

12:37 Uhr, 19.09.2012

Hallo an alle,

leider habe ich ein Problem bei der im Anhang beiliegenden Aufgabe.
Dabei sollen die Schnittpunkte von den beiden Sinuskurven ermittelt werden.

Ich kann nur erkennen dass die obere Sinus-Kurve verschoben ist und dementsprechen der originalen cosinus kurve entspricht.

Leider bringt mich das nicht weiter.

Kann mir jemand hier weiterhelfen oder einen Tipp geben?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

Edddi aktiv_icon

12:51 Uhr, 19.09.2012

...die 1. Kurve kannst du als gestauchte Kos.-fkt. oder gestauchte und verschobene Sin.-fkt. interpretieren.

Machen wir's mit Sinus:

sin (x) =

Standard-Sinus-fkt. mit

T = 2 \cdot π

da wir hier nur

T = π

haben ergibt sich:

sin (2 \cdot x)

Damit ist sie um den Faktor 2 gestaucht, weil ja der Funkt.-wert von

2 \cdot x

bei

x

abgebildet wird.

Nun die Verschiebung entlang der X-Achse um a gemäß Transf.-vorschrift:

f (x) \to f (x - a)

Die Sin.-Funktion ist ja um

- \frac{π}{4}

verschoben, somit ergibt sich:

sin (2 \cdot (x - (- \frac{π}{4})))

= sin (2 \cdot (x + \frac{π}{4}))

= sin (2 \cdot x + \frac{π}{2})

Nun noch die Amplitude anpassen, denn diese ist ja nicht 1 sondern

\sqrt{3}

. Also einfach den Faktor vor die Sinusfunktion:

= \sqrt{3} \cdot sin (2 \cdot x + \frac{π}{2})

Nun die 2. Diese ist eine Standard-Sinus-Funktion mit der Amplitude 1 (Denn sie schwank zw.

- \sqrt{3} \pm 1

= sin (x)

Nun ist sie entlang der Y-Achse um

- \sqrt{3}

verschoben, macht:

= sin (x) - \sqrt{3}

Du hast also folgende Gleichung zu lösen:

\sqrt{3} \cdot sin (2 \cdot x + \frac{π}{2}) = sin (x) - \sqrt{3}

Dafür gibt's nun mehrere Möglichkeiten...

;-)

Gerd30.1 aktiv_icon

13:47 Uhr, 19.09.2012

Mein Ergebnis ist etwas anders:

y_{1} = \sqrt{3} sin (2 x + \frac{π}{2})

und

y_{2} = \sqrt{3} sin (x) - \sqrt{3}

. Durch Gleichsetzen erhält man:

\sqrt{3} sin (2 x + \frac{π}{2}) = \sqrt{3} sin (x) - \sqrt{3}

,also

sin (2 x + \frac{π}{2}) = sin (x) - 1

Bummerang

13:57 Uhr, 19.09.2012

Hallo,

der Ansatz von gerdware ist falsch, da Maximal- und Minimalwert der zweiten Funktion durch den Faktor

\sqrt{3}

2 \cdot \sqrt{3}

differieren müßten. Sie differieren aber um

(1 - \sqrt{3}) - (- 1 - \sqrt{3}) = 1 - \sqrt{3} + 1 + \sqrt{3} = 2

Damit muß der Faktor vor dem Sinus

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

und nicht

\sqrt{3}

sein!

@gerdware: Die Lösung von Edddi ist bis zum

\sqrt{3} \cdot sin (2 \cdot x + \frac{π}{2}) = sin (x) - \sqrt{3}

korrekt!

PS: Da die erste Funktion einen ihrer Maximalwerte bei

x = 0

erreicht, wäre es besser die Kosinusfunktion anzuwenden, da entfällt die Phasenverschiebung. Bei Anwendung der Additionstheoreme entfällt dann der Kosinus wieder und weicht dem Quadrat des Sinus. Damit hat man letztendlich nach einer Substitution eine reine quadratische Gleichung, die man einfach lösen kann. Nach der Rücksubstitution (und eventuellem Ausschluß von Scheinlösungen) erhält man dann die exakten Schnittstellen...

Dima-90 aktiv_icon

16:13 Uhr, 19.09.2012

Wow so eine ausführliche erklärung hätte ich jetzt echt nicht erwartet,

vielen Dank euch!!! vor allem an edddi,

jedoch habe ich schon weiter das problem bei der gleichsetzung, mithilfe der trigonometrischen regeln,

konnte ich dies auf folgendes umformen:

s i n (2 x - \frac{p i}{2}) - s i n (x) + \sqrt{3} = 0

-------------------------------------

s i n (2 x - \frac{p i}{2}) = c o s (2 x)

c o s (2 x) - s i n (x) = \sqrt{3}

also muss

c o s (2 x) - s i n (x)

zusammen

- \sqrt{3}

ergeben, doch ich komme nirgends drauf wie ich das

x

rausfinde, oder gibts eine vereinfachte trigonometrische umformung?

Bummerang

16:15 Uhr, 19.09.2012

Hallo,

schau mal unter wikipedia nach, Stichwort: Formelsammlung Trigonometrie. Dort findest Du die Doppelwinkelfunktionen und da steht dann auch eine Auflösung von

cos (2 \cdot x),

die

{sin}^{2} (x)

enthält...

Dima-90 aktiv_icon

16:34 Uhr, 19.09.2012

Daran habe ich auch schon gedacht, was mich zwar zum Produkt zweier faktoren auf einer seite bringt, jedoch diese nicht 0 sondern

- 1 - \sqrt{3}

ergeben muss, sprich so bin ich vorgegangen:

c o s (2 x) = 1 - 2 s i n^{2} (x)

= > 1 - 2 s i n^{2} (x) - s i n (x) = - \sqrt{3}

- 2 s i n^{2} (x) - s i n (x) = - 1 - \sqrt{3}

- s i n (x) * (1 + 2 s i n (x)) = - 1 - \sqrt{3}

sprich wie gesagt, muss

- s i n (x) * (1 + 2 s i n (x))

somit

1 + \sqrt{3}

ergeben.

und nu?

Bummerang

16:35 Uhr, 19.09.2012

Hallo,

vielleicht machst Du Dir einfach mal die Mühe, alle Posts zu lesen. In einem früheren Post von mir stand da bereits, wie man an dieser Stelle weiterverfährt...

PS: Wo ist eigentlich deine

\sqrt{3}

auf der linken Seite geblieben???

Dima-90 aktiv_icon

16:41 Uhr, 19.09.2012

ahso, okay danke dir, also jetzt komme ich mithilfe deines Tipps mit der substitution auf pq-formel,

also die

\sqrt{3}

ist doch in der gleichung rechts, will ich sie links haben, verschwindet sie rechts ist doch eine gleichung oder wo meinst du jetzt?

Bummerang

16:43 Uhr, 19.09.2012

Hallo,

da stand auf der linken Seite

\sqrt{3} \cdot sin (... + \frac{π}{2})

. Den Sinus hast Du durch Kosinus ersetzt, den widerum hast Du durch

1 - 2 \cdot {sin}^{2}

ersetzt, aber die

\sqrt{3}

hast Du dann einfach weggelassen!!!

Dima-90 aktiv_icon

16:45 Uhr, 19.09.2012

Ouh stimmt, du hast ja recht,

danke für die Korrektur

Dima-90 aktiv_icon

20:43 Uhr, 19.09.2012

Also weiter als in der pq komme ich leider nicht mehr, hier meine schritte:

0 = - 2 \sqrt{3} * s i n^{2} (x) - s i n (x) + 2 \sqrt{3}

/*(-1)

0 = 2 \sqrt{3} * s i n^{2} (x) + s i n (x) - 2 \sqrt{3}

Substitution:
u=sin(x)

0 = 2 \sqrt{3} * u^{2} + u - 2 \sqrt{3}

: 2 \sqrt{3}

0 = u^{2} + \frac{u}{(2 \sqrt{3})} - 1

nach p/q:

x_{1}, x_{2} = - \frac{u}{(4 \sqrt{3})} \pm \sqrt{(\frac{u}{(4 \sqrt{3}})^{2} + 1}

= - \frac{u}{(4 \sqrt{3})} \pm \sqrt{(\frac{u^{2}}{48}) + 1}

= - \frac{u}{(4 \sqrt{3})} \pm \frac{(\sqrt{u^{2} + 48})}{4 * (\sqrt{3})}

ab hier weiß ich leider nicht weiter.

Hat jemand einen tipp für mich?

Edddi aktiv_icon

07:06 Uhr, 20.09.2012

. .

. das

u

gehört NICHT auf die rechte Seite. Das

u

steht doch für

x!

Du erhälst dann sowas wie:

u_{1, 2} = - \frac{1}{4 \cdot \sqrt{3}} \pm . .

.

Dann wieder resubst.

;-)

math789 aktiv_icon

16:06 Uhr, 11.03.2013

hallo dima,

hattest du die aufgabe noch lösen können?
die aufgabe klingt recht interessant und ich habe es nun auch versucht diese zu lösen,

allerdings, bin ich nur soweit gekommen wie es eddie vorgeführt hatte
und erhalte für die beiden substitutionen diese ergebnisse:

u 1 = - \frac{1}{4 * \sqrt{3}} + \frac{7}{4 * \sqrt{3}} = \frac{6}{4 * \sqrt{3}}

u 2 = - \frac{1}{4 * \sqrt{3}} - \frac{7}{4 * \sqrt{3}} = - \frac{8}{4 * \sqrt{3}}

so wie ich vermute ist der erste schnittpunkt die Lösung aus

a r c s i n (\frac{6}{4 * \sqrt{3}})

, also

x 1 = \frac{1}{3} p i

falls etwas falsch sein sollte, klärt mich bitte auf,
wie finde ich aber den zweiten schnittpunkt?

arcsin von u2 führt leider zum fehler.

Edddi aktiv_icon

12:57 Uhr, 12.03.2013

. .

. ich hab's nicht weiter überprüft, aber es ist schon möglich, dass die 2. Lösung nicht funzt. Bleibt eben nun nur noch die Erste, denn die gibt noch mehr her!

Wenn, wie du rausgefunden hast,

sin (\frac{π}{3}) = \frac{6}{4 \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}

dann gilt dies auch für

sin (π - \frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}

da ja

sin (x) = sin (π - x)

Somit hast du nun doch noch 2 Lösungen, nämlich

x_{1} = \frac{π}{3}

und

x_{2} = \frac{2}{3} \cdot π

...pastt auch toll zum Graphen, oder?

;-)

math789 aktiv_icon

14:07 Uhr, 12.03.2013

stimmt,

an

s i n (x) = s i n (π - x)

habe ich überhaupt nicht gedacht.

Was ich eigentlich noch fragen wollte:
Wie kommts eigentlich dass du oben (ich zitiere)

"
Du erhälst dann sowas wie:

u_{1},_{2} = - \frac{1}{4 * \sqrt{3}} \pm . . .

"

bei dem Bruch im Zähler die 1 hast, also

s i n \frac{π}{2}

Die Zeichnung habe ich soeben geprüft und die Lösungen die du genannt hast stimmen auch überein, jedoch kann ich mir das nicht logisch erklären lassen weshalb die 1 in den Bruch kommt, normalerweise wäre dort ja sin(x)

Edddi aktiv_icon

18:46 Uhr, 12.03.2013

. .

. es wurde

u = sin (x)

substituiert.

Was auch nun immer für

u

rauskommt,

u

ist lediglich Lösung für die Gleichung mit

u

als Variable.
Also in unserem Beispiel für

u^{2} + \frac{1}{2 \cdot \sqrt{3}} \cdot u - 1

mit der p-q-Formel erhält man Löungen für DIESES System:

u_{1, 2} = - \frac{1}{4 \cdot \sqrt{3}} \pm \sqrt{\frac{1}{48} + 1} = - \frac{1}{4 \cdot \sqrt{3}} \pm \sqrt{\frac{49}{48}} = - \frac{1}{4 \cdot \sqrt{3}} \pm \frac{7}{4 \cdot \sqrt{3}}

Beide Lösungen erfüllen obige Gleichung. Ob sie aber für unsere Substitution gültig sind, oder nur eingeschränkt, kannst du nur durch Probe hereuasfinden.

Die "1" im Zähler hat also rein garnix mit der Endlösung zu tun.

;-)

math789 aktiv_icon

21:46 Uhr, 12.03.2013

okay,

danke dir eddy!!!

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