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2 mal Partiell Differenzierbarkeit zeigen

Universität / Fachhochschule

Funktionalanalysis

Tags: Funktionalanalysis

Lauralisa aktiv_icon

21:23 Uhr, 28.08.2017

Hallo habe folgende Aufgabe. (siehe Bild)

Ich habe das Problem wie soll ich das machen ?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)

ermanus aktiv_icon

21:32 Uhr, 28.08.2017

Hallo,

da bin ich wieder.
Da du die Existenz der 2-ten partiellen Ableitungen zeigen willst,
musst du zunächst die 1-ten partiellen Ableitungen bestimmen.
An den Stellen

(x, y) \neq (0, 0)

ist das sicher kein Problem, da

f

dort ja eine rationale Funktion mit Nenner

\neq 0

ist. Interessant wird es
im Punkt

(0, 0)

. Hier muss man die Definition der partiellen
Ableitungen als spezielle Limiten heranziehen.

Versuch's mal ein Stück weit.

Gruß ermanus

Lauralisa aktiv_icon

21:40 Uhr, 28.08.2017

Ja das ist kein Problem

D_{x} = \frac{y \cdot (x^{4} + 4 x^{3} \cdot y^{2} - y^{4})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}

und

D_{y} = \frac{x^{5} - 4 x^{3} y^{2} - x^{4}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}

sind diese Funktionen jetzt wieder Partiell Diffbar ?

und wenn ich zeigen will das es so ist und die Definition benutze

muss ich das dann zeigen das

D_{x}

nach

x

und

y

Partiell Diffbar ist und

D_{y}

ebenso?
Das verwirrt mich etwas..

ermanus aktiv_icon

21:49 Uhr, 28.08.2017

Jetzt hast du zwar

D_{x} (x, y)

und

D_{y} (x, y)

an den Stellen

(x, y) \neq (0, 0)

berechnet, nicht aber

D_{x} (0, 0)

und

D_{y} (0, 0)

. Das fehlt noch.

Lauralisa aktiv_icon

21:56 Uhr, 28.08.2017

Dazu würde ich die Definition benutzen also :

lim_{h \to 0} \frac{f (h,0) - f (0,0)}{h}

also das geht doch nicht weil bei

f (0,0)

wäre ja der nenner

0 .

- . -

ermanus aktiv_icon

22:04 Uhr, 28.08.2017

Wieso?
Es ist wegen

f (0, 0) = 0

lim_{h \to 0} \frac{f (h, 0) - f (0, 0)}{h} = lim_{h \to 0} \frac{0 - 0}{h} = lim_{h \to 0} 0 = 0

.
Deine Ausdrücke für

D_{x} (x, y)

und

D_{y} (x, y)

für

(x, y) \neq (0, 0)

solltest du noch einmal überprüfen.

Lauralisa aktiv_icon

22:09 Uhr, 28.08.2017

Achso die Funktion ist ja abschnittsweise Definiert

gut dann habe ich noch :

lim_{h \to 0} \frac{f (0, h) - f (0,0)}{h} = lim_{h \to 0} \frac{0 - 0}{h} = 0

so jetzt aber

ledum aktiv_icon

22:14 Uhr, 28.08.2017

Hallo
nachdem du die ersten Ableitungen hast, einschließlich bei

(0,0)

mach das gleiche mit den zweiten, die auch nur in 0 problematisch sind .
Gruß ledum

ermanus aktiv_icon

22:27 Uhr, 28.08.2017

Bei

D_{x} (x, y)

muss es meiner Rechnung nach im Zähler

. . . 4 x^{2} y^{2} . . .

heißen und bei

D_{y} (x, y)

ist der Zähler auch falsch; denn gemäß der vorliegenden Symmetrie
sollte man

D_{y} (x, y) = - D_{x} (y, x)

erwarten.
Ledum hat ja nun richtig bemerkt, wie es weitergehen sollte.
Da aber der Wert der 2-ten partiellen Ableitungen in

(x, y) \neq (0, 0)

nicht
berechnet werden muss, ist einzig und allein die Existenz der
2-ten partiellen Ableitungen in

(x, y) \neq (0, 0)

zu begründen (nicht zu berechnen!)
und die Ableitungen

D_{x x} (0, 0), D_{x y} (0, 0), D_{y x} (0, 0)

und

D_{y y} (0, 0)

per Definition der part. Ableitung zu bestimmen.

Lauralisa aktiv_icon

22:47 Uhr, 28.08.2017

Oh ja du hast Recht ermanus

: (

D_{x} = \frac{y \cdot (x^{4} + 4 x^{2} y^{2} - y^{4})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}

D_{y} = \frac{x^{5} - 4 x^{3} \cdot y^{2} - x \cdot y^{4}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}

Jetzt müsste es stimmen-

muss ich jetzt zeigen das die 2 Partielle Ableitung existiert aber nur im Punkt

(0,0)

weil das die Kritische Stelle ist ?
Die ANDEREN ableitungen ungleich 0 kann ich ja damit begründen das die existieren wegen der Produktregel und dem Quotintenregel.. oder ?

Also wenn ich zeigen will das