Differenzierbarkeit

Eine Funktion ist differenzierbar an der Stelle ${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0,}$ wenn man eine Tangente [mehr dazu] an den Graphen der Funktion legen kann.

Die Steigung der Tangente [mehr dazu] an der Stelle ${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0}$ wird durch den Grenzwert
${\displaystyle tan\mathrm{\alpha <mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\underset{{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1\to {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0}{lim}\frac{\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left({\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1\right)-\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left({\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0\right)}{{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1-{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0}}$ beschrieben.

Als Abkürzung schreibt man
${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\text{'}\left({\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0\right)=\underset{{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1\to {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0}{lim}\frac{\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left({\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1\right)-\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left({\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0\right)}{{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1-{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0}}$

Diesen Grenzwert (Differentialquotient) nennt man Ableitung [mehr dazu] der Funktion ${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ an einer Stelle ${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0}$.

Zur Überprüfung ob eine Funktion ${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}$ an der Stelle ${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0}$ differenzierbar ist, ist es häufig geeignet folgende Regeln zu prüfen:

${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}$ ist differenzierbar in ${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0}$ wenn gilt:

a) ${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ ist stetig in ${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0}$
b) ${\displaystyle \underset{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\to {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0^{-}}{lim}\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\text{'}=\underset{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\to {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0^{+}}{lim}\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\text{'}}$