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Ableitung an einer Stelle

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

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Wie bestimmt man die Ableitung $f' (x)$ einer Funktion $f (x)$ an der Stelle $x_{0}$ ?

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Verfahren

1) Differenzenquotient bilden:

\frac{f (x_{1}) - f (x_{0})}{x_{1} - x_{0}}

\Rightarrow x_{1}

und

x_{0}

werden in die Funktionsgleichung eingesetzt.

2) Terme im Zähler umformen so, dass der Term

(x_{1} - x_{0})

im Nenner gekürzt werden kann.

3) Differentialquotienten bilden:

lim_{x_{1} \to x_{0}} \frac{f (x_{1}) - f (x_{0})}{x_{1} - x_{0}}

\Rightarrow x_{1}

wird ersetzt durch

x_{0}

1) Beispiel

f (x) = x^{2}

Zu

1) :

(Differenzenquotienten bilden)

\frac{f (x_{1}) - f (x_{0})}{x_{1} - x_{0}} = \frac{x_{1}^{2} - x_{0}^{2}}{x_{1} - x_{0}}

Zu

2) :

(Terme umformen)

3. Binomische Formel anwenden:

\frac{f (x_{1}) - f (x_{0})}{x_{1} - x_{0}} = \frac{x_{1}^{2} - x_{0}^{2}}{x_{1} - x_{0}}

= \frac{(x_{1} + x_{0}) \cdot (x_{1} - x_{0})}{x_{1} - x_{0}}

= x_{1} + x_{0}

Zu

3) :

(Differentialquotienten bilden)

f' (x_{0}) = lim_{x_{1} \to x_{0}} \frac{f (x_{1}) - f (x_{0})}{x_{1} - x_{0}} = lim_{x_{1} \to x_{0}} x_{1} + x_{0} = 2 \cdot x_{0}

2) Beispiel

f (x) = x^{3} - 4 x

Zu

1) :

(Differenzenquotienten bilden)

\frac{f (x_{1}) - f (x_{0})}{x_{1} - x_{0}} = \frac{(x_{1}^{3} - 4 x_{1}) - (x_{0}^{3} - 4 x_{0})}{x_{1} - x_{0}}

Zu

2) :

(Terme umformen)

Terme die "gleich gebaut" sind gruppieren:

\frac{f (x_{1}) - f (x_{0})}{x_{1} - x_{0}} = \frac{(x_{1}^{3} - 4 x_{1}) - (x_{0}^{3} - 4 x_{0})}{x_{1} - x_{0}}

= \frac{(x_{1}^{3} - x_{0}^{3}) - 4 \cdot (x_{1} - x_{0})}{x_{1} - x_{0}}

Binomischen Lehrsatz

(a^{n} - b^{n}

)anwenden:

= \frac{(x_{1} - x_{0}) \cdot (x_{1}^{2} + x_{1} x_{0} + x_{0}^{2}) - 4 \cdot (x_{1} - x_{0})}{x_{1} - x_{0}}

= \frac{(x_{1} - x_{0}) \cdot [x_{1}^{2} + x_{1} x_{0} + x_{0}^{2} - 4]}{x_{1} - x_{0}}

= x_{1}^{2} + x_{1} x_{0} + x_{0}^{2} - 4

Zu

3) :

(Differentialquotienten bilden)

f' (x_{0}) = lim_{x_{1} \to x_{0}} \frac{f (x_{1}) - f (x_{0})}{x_{1} - x_{0}} = lim_{x_{1} \to x_{0}} x_{1}^{2} + x_{1} x_{0} + x_{0}^{2} - 4 = x_{0}^{2} + x_{0}^{2} + x_{0}^{2} - 4 = 3 x_{0}^{2} - 4

3) Beispiel

f (x) = \frac{1}{x}

Zu

1) :

(Differenzenquotienten bilden)

\frac{f (x_{1}) - f (x_{0})}{x_{1} - x_{0}} = \frac{\frac{1}{x_{1}} - \frac{1}{x_{0}}}{x_{1} - x_{0}}

Zu

2) :

(Terme umformen)

Gemeinsamen Nenner bilden und Brüche zusammenführen:

\frac{f (x_{1}) - f (x_{0})}{x_{1} - x_{0}} = \frac{\frac{1}{x_{1}} - \frac{1}{x_{0}}}{x_{1} - x_{0}}

= \frac{\frac{1}{x_{1}} \cdot \frac{x_{0}}{x_{0}} - \frac{1}{x_{0}} \cdot \frac{x_{1}}{x_{1}}}{x_{1} - x_{0}}

= \frac{\frac{x_{0} - x_{1}}{x_{1} x_{0}}}{x_{1} - x_{0}}

= \frac{- (x_{1} - x_{0})}{x_{1} x_{0} \cdot (x_{1} - x_{0})}

= - \frac{1}{x_{1} x_{0}}

Zu

3) :

(Differentialquotienten bilden)

f' (x_{0}) = lim_{x_{1} \to x_{0}} \frac{f (x_{1}) - f (x_{0})}{x_{1} - x_{0}} = lim_{x_{1} \to x_{0}} - \frac{1}{x_{1} x_{0}} = - \frac{1}{x_{0}^{2}}

4) Beispiel

f (x) = \frac{x^{2} - 2 x}{x + 1}

Zu

1) :

(Differenzenquotienten bilden)

\frac{f (x_{1}) - f (x_{0})}{x_{1} - x_{0}} = \frac{(\frac{x_{1}^{2} - 2 x_{1}}{x_{1} + 1}) - (\frac{x_{0}^{2} - 2 x_{0}}{x_{0} + 1})}{x_{1} - x_{0}}

Zu

2) :

(Terme umformen)

Gemeinsamen Nenner bilden und Brüche zusammenführen:

\frac{f (x_{1}) - f (x_{0})}{x_{1} - x_{0}} = \frac{(\frac{x_{1}^{2} - 2 x_{1}}{x_{1} + 1}) - (\frac{x_{0}^{2} - 2 x_{0}}{x_{0} + 1})}{x_{1} - x_{0}}

= \frac{\frac{x_{1}^{2} - 2 x_{1}}{x_{1} + 1} \cdot \frac{x_{0} + 1}{x_{0} + 1} - \frac{x_{0}^{2} - 2 x_{0}}{x_{0} + 1} \cdot \frac{x_{1} + 1}{x_{1} + 1}}{x_{1} - x_{0}}

= \frac{\frac{(x_{1}^{2} - 2 x_{1}) \cdot (x_{0} + 1) - (x_{0}^{2} - 2 x_{0}) \cdot (x_{1} + 1)}{(x_{1} + 1) \cdot (x_{0} + 1)}}{x_{1} - x_{0}}

= \frac{(x_{1}^{2} x_{0} + x_{1}^{2} - 2 x_{1} x_{0} - 2 x_{1}) - (x_{0}^{2} x_{1} + x_{0}^{2} - 2 x_{1} x_{0} - 2 x_{0})}{(x_{1} + 1) \cdot (x_{0} + 1) \cdot (x_{1} - x_{0})}

Terme die "gleich gebaut" sind gruppieren:

= \frac{(x_{1}^{2} x_{0} - x_{0}^{2} x_{1} + x_{1}^{2} - x_{0}^{2}) - 2 (x_{1} - x_{0})}{(x_{1} + 1) \cdot (x_{0} + 1) \cdot (x_{1} - x_{0})}

= \frac{x_{1} x_{0} \cdot (x_{1} - x_{0}) + (x_{1} - x_{0}) \cdot (x_{1} + x_{0}) - 2 (x_{1} - x_{0})}{(x_{1} + 1) \cdot (x_{0} + 1) \cdot (x_{1} - x_{0})}

= \frac{(x_{1} - x_{0}) \cdot [x_{1} x_{0} + (x_{1} + x_{0}) - 2]}{(x_{1} + 1) \cdot (x_{0} + 1) \cdot (x_{1} - x_{0})}

= \frac{x_{1} x_{0} + x_{1} + x_{0} - 2}{(x_{1} + 1) \cdot (x_{0} + 1)}

Zu

3) :

(Differentialquotienten bilden)

f' (x_{0}) = lim_{x_{1} \to x_{0}} \frac{f (x_{1}) - f (x_{0})}{x_{1} - x_{0}} = lim_{x_{1} \to x_{0}} \frac{x_{1} x_{0} + x_{1} + x_{0} - 2}{(x_{1} + 1) \cdot (x_{0} + 1)} = \frac{x_{0}^{2} + 2 x_{0} - 2}{{(x_{0} + 1)}^{2}}

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