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Ableitung einer Polynomfunktion

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Wie bestimmt man die Ableitung einer Polynomfunktion?

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Eine Polynomfunktion ist eine Funktion der Form

f (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + a_{n - 2} x^{n - 2}

+…+

a_{2} x_{2}^{2} + a_{1} x + a_{0}

wobei

x

die Variable und die verschiedenen

a_{i}

die Koeffizienten sind.

Beispiele:

f (x) = 3 x^{5} + 2 x^{4} - x^{3} + 3 x^{2} + 5 x + 1

oder

f (x) = x^{3} + 3 x^{2}

Bei der Ableitung einer Polyomfunktion wird jeder einzelne Summenterm abgeleitet. Die Summe der einzelnen Ableitungen ist dann die ganze Ableitung.

Jeder Summenterm besteht aus einer Potenz von

x

und wird nach der Regel für Potenzen abgeleitet:

f (x) = x^{n}

\Rightarrow f' (x) = n \cdot x^{n - 1}

Besteht ein Summenterm aus einem Produkt mit einem Koeffizienten, so wird die Regel für die Ableitung eines Vielfachen einer Funktion angewendet.
Ableitung eines Vielfachen einer Funktion

Beispiel:

f (x) = x^{2} + 2 x + 1

Ableitung der einzelnen Termen:

(x^{2})' = 2 x

(2 x)' = 2

(1)' = 0

Summe der Ableitungen:

\Rightarrow f' (x) = 2 x + 2 + 0 = 2 x + 2

Beispiel:

f (x) = 2 x^{4} - x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - 10

Ableitung der einzelnen Termen:

(2 x^{4})' = 2 \cdot 4 x^{3} = 8 x^{3}

(- x^{3})' = - 1 \cdot 3 x^{2} = - 3 x^{2}

(\frac{1}{2} x^{2})' = \frac{1}{2} \cdot 2 x = x

(- 10)' = 0

Summe der Ableitungen:

\Rightarrow f' (x) = 8 x^{3} - 3 x^{2} + x + 0 = 8 x^{3} - 3 x^{2} + x

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