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Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 4. Grades
Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe
 
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Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 4. Grades durch? |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Kurvendiskussion (Mathematischer Grundbegriff) Funktion (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Ableiten mit der h-Methode Ableitungsregeln für Polynomfunktionen Polynomdivision Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Nullstellen Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Einführung Tangente / Steigung |
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Die Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion 4. Grades lautet: wobei die Variable und die und die Koeffizienten sind. Eine Kurvendiskussion folgt immer dem gleichen Ablauf: 1) Ableitungen bilden: und Wie man eine ganzrationale Funktion 4. Grades ableitet kann hier nach gelesen werden: Ableitung einer Polynomfunktion 2) Definitionsbereich bestimmen In der Regel stellt man fest wo die Funktion NICHT definiert ist. Für einer ganzrationale Funktion 4. Grades gilt stets: 3) Nullstellen bestimmen Die Funktion schneidet in diesen Punkten die x-Achse. Ansatz: Eine ganzrationale Funktion 4. Grades hat maximal 4 Nullstellen. Wie man Nullstellen im Detail bestimmt kann hier nach gelesen werden: Nullstellen von Polynomfunktionen 4) Verhalten an den Grenzen des Definitionsbereichs Man bildet folgende Grenzwerte: Wie bei jeder Polynomfunktion bestimmt der Term mit der höchsten Potenz den charakteristischen Verlauf der Funktion. Somit bestimmt bei einer ganzrationalen Funktion 4. Grades der Term den Verlauf des Funktionsgraphen für ganz große bzw. sehr kleine Zahlen: Ist der Koeffizient a positiv, dann ist (Für ganz große Zahlen hat die Funktion beliebig große, positive Funktionswerte) und (Für ganz kleine Zahlen hat die Funktion beliebig große, positive Funktionswerte) Ist der Koeffizient a negativ, dann ist (Für ganz große Zahlen hat die Funktion beliebig kleine, negative Funktionswerte) und (Für ganz kleine Zahlen hat die Funktion beliebig kleine, negative Funktionswerte) 5)Symmetrie zum Koordinatensystem I.d.R ist zu prüfen ob gilt: Die Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse Die Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung 6) Monotonieverhalten In welchen Abschnitten wächst/fällt die Funktion streng monoton? Man untersucht in welchen Bereichen die erste Ableitung größer und kleiner 0 ist. Da ganzrationale Funktionen 4. Grades stetig sind, gilt: Die Funktion steigt in diesem Bereich streng monoton. Die Funktion fällt in diesem Bereich streng monoton. 7) Extrema /Terrassenpunkte Wo hat die Funktion Minima, Maxima oder Terrassenpunkte? Der Ansatz ist: Zusammen mit dem Monotonieverhalten kann dann unterschieden werden zwischen Maxima, Minima und Terrassenpunkt. Wie man Extrempunkte bestimmt kann hier nachgelesen werden: Extrempunkte eines Funktionsgraphen Wie man zwischen Extrempunkt und Terrassenpunkt unterscheidet kann hier nachgelesen werden: Sattelpunkte oder Terassenpunkte eines Funktionsgraphen 8) Wendepunkte Wo hat die Funktion Wendepunkte? Der Ansatz ist: Prüfung mit Wie man Wendepunkte bestimmt kann hier nachgelesen werden: Wendepunkte eines Funktionsgraphen 9) Zeichnung Der Graph der Funktion kann in einem Koordinatensystem eingezeichnet werden. |
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Beispiel – 1) Ableitungen bilden: – 4 2) Definitionsbereich bestimmen: 3) Nullstellen bestimmen: – Es handelt sich hier um eine biquadratische Gleichung. (Zu erkennen daran, dass kein Term mit ungeradem Exponenten enthalten ist) Substitution mit – Lösen mit der Mitternachtsformel: Resubstitution: und Die Funktion schneidet die x-Achse an den Stellen und 1  4) Verhalten an den Grenzen des Definitionsbereichs: da da  5) Symmetrie zum Koordinatensystem: – ist gleich Die Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse. |
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6) Monotonieverhalten: Um das Monotonieverhalten der Funktion zu bestimmen welchen Bereichen steigt der Graph der Funktion, in welchen Bereichen fällt die Funktion), betrachtet man die 1. Ableitung der Funktion. Die 1. Ableitung der Funktion gibt die Steigung des Funktionsgraphen an. Zunächst werden die Nullstellen der 1. Ableitung bestimmt (werden meist ohnehin für die Extrema benötigt). und Damit sind die verschiedenen Monotoniebereiche der Funktion festgelegt. Der Funktionsterm der 1. Ableitung ist ein Produkt. Der erste Faktor entspricht einer Ursprungsgeraden und der zweite Faktor einer nach oben geöffnete Parabel. Um herauszufinden, in welchen Bereichen positives Vorzeichen hat, müssen beide Faktoren positiv oder beide negativ sein.  Um herauszufinden, in welchen Bereichen negatives Vorzeichen hat, müssen beide Faktoren unterschiedliches Vorzeichen haben.  Diese Grafik zeigt den Graph der 1. Ableitung:  Eine gute Methode, herauszufinden, welches Vorzeichen die 1. Ableitung in einem Bereich hat, ist einen x-Wert aus dem Bereich in die 1. Ableitung einzusetzen. für Die Funktion steigt in diesem Bereich streng monoton. für Die Funktion fällt in diesem Bereich streng monoton.  |
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7) Extrema /Terrassenpunkte bestimmen: Nach obiger Rechnung hat die Funktion Extrempunkte an den Stellen und Bei wechselt die Ableitung ihr Vorzeichen von nach (lokales) Maximum Bei wechselt die Ableitung ihr Vorzeichen von - nach Minimum Bei wechselt die Ableitung ihr Vorzeichen von - nach Minimum – Maximum Minimum Wegen der Achsensymmetrie ist Minimum ist Spiegelpunkt von an der y-Achse) Da die Nullstellen gleich der Minima sind, berührt der Graph der Funktion die x-Achse in diesen Punkten.  8) Wendepunkte bestimmen: – Bei hat die Funktion ein Wendepunkt. Bei hat die Funktion einen zweiten Wendepunkt. Bei wechselt die Funktion von einer Linkskurve in eine Rechtskurve. Bei wechselt die Funktion von einer Rechtskurve in eine Linkskurve. – und Wendepunkte  9) Zeichnung:  |
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