Processing math: 0%
 
Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online
Startseite » Forum » Extrempunkte eines Funktionsgraphen

Extrempunkte eines Funktionsgraphen

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

 
Neue Frage stellen Im Forum suchen
Wie bestimmt man die Extrempunkte eines Funktionsgraphen?
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Extrema (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Online-Nachhilfe in Mathematik
Lage des Extrempunkts ermitteln

1) Erste Ableitung der Funktion bilden

2) Nullstellen der Ableitungsfunktion ermitteln :

Ansatz:

Erste Ableitung Null setzen:

Nun die Gleichung nach auflösen

Die Lösungen der Gleichung sind die -Werte möglicher Extrempunkte.
Man sagt, sie erfüllen die notwendige Bedingung für ein Extremum:


soll eine Lösung der Gleichung sein.)





Art des Extrempunkts ermitteln

3) Prüfen ob an den gefundenen Stellen tatsächlich Extrempunkte vorliegen

Hierfür gibt es 2 Methoden:

Methode der zweiten Ableitung:

Zweite Ableitung der Funktion bilden

Die -Werte aus 2) in die zweite Ableitung einsetzen:

Prüfen ob gilt:

Für ein Extrempunkt gilt stets:

Man sagt erfüllt die hinreichende Bedingung für ein Extremum:


Um welches Extremum es sich dabei handelt wird am Vorzeichen der zweiten Ableitung abgelesen:

UND so hat die Funktion bei ein (lokales) Maximum.



UND so hat die Funktion bei ein (lokales) Minimum.






Methode des Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung:

Man prüft ob die erste Ableitung ihr Vorzeichen im Punkt wechselt, indem man untersucht wo die
erste Ableitung kleiner Null und größer Null ist:





Wechselt die Ableitung in der Umgebung seiner Nullstelle ihr Vorzeichen von "+" (Plus) auf "-" (Minus), dann hat die Funktion in ein (lokales)Maximum.



Wechselt die Ableitung in der Umgebung seiner Nullstelle ihr Vorzeichen von "-" (Minus) auf "+" (Plus), dann hat die Funktion in ein (lokales)Minimum.



Vorsicht: gilt nur bei stetigen Funktionen!

Beispiel:



1) Erste Ableitung der Funktion bilden :



2) Nullstellen der Ableitungsfunktion ermitteln :









3) Prüfen ob an den gefundenen Stellen tatsächlich Extrempunkte vorliegen

Bestimmt mit der zweiten Ableitung.









An der Stelle hat die Funktion ein Minimum.


Alternative: Bestimmt mit dem Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung.



Für welche gilt ?





Für welche gilt ?





Die erste Ableitung ist negativ für alle die kleiner sind als und positiv für alle die größer sind als . Die erste Ableitung wechsel also bei ihr Vorzeichen von "-" nach "+".

An der Stelle hat die Funktion ein Minimum.

Wie hilft Dir dieser Artikel?
 
Diese Erklärung hat mir geholfen
 
Diese Erklärung hat mir teilweise geholfen
 
Diese Erklärung hat mir nicht geholfen
 
Ich habe eine Frage zu diesem Thema