Extrema

Minimum, Maximum oder Terrassenpunkt?

Für diese Punktarten gilt: Die Funktion hat bei diesen Punkten eine waagerechte Tangente [mehr dazu], ${\displaystyle \mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}.\mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$. die Steigung ist in diesem Punkt null.

Man findet diese Punkte also, indem man die erste Ableitung [mehr dazu] der Funktion null setzt.




Um welche Art von Punkt handelt es sich?

1. Möglichkeit: Vorzeichen der Ableitung [mehr dazu]

In der Umgebung um den Punkt kann es verschiedene Verläufe der Ableitung [mehr dazu] geben:



Vorsicht: gilt nur bei stetigen Funktionen

Die Funktion ${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)={\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}$ hat bei ${\displaystyle \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=0}$ ein Minimum.



Die Funktion ${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=-{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}$ hat bei ${\displaystyle \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=0}$ ein Maximum.



Die Funktion ${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=-{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^3}$ hat bei ${\displaystyle \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=0}$ einen Terrassenpunkt.



Die Funktion ${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)={\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^3}$ hat bei ${\displaystyle \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=0}$ einen Terrassenpunkt.



2. Möglichkeit: Krümmungsverhalten

Das Krümmungsverhalten kann bei vielen stetigen Funktionen bereits helfen herauszufinden, um welche Art von Punkt es sich handelt.

Ansatz: Setze die Nullstellen [mehr dazu] der ersten Ableitung [mehr dazu] in die zweite Ableitung [mehr dazu] ein und interpretiere das Ergebnis.

${\displaystyle ({\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0}$ steht stellvertretend für eine Nullstelle der ersten Ableitung [mehr dazu])





Die unten abgebildete Funktion ${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}$ hat bei ${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0}$ ein lokales Maximum und bei ${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1}$ ein lokales Minimum.



In Fällen, in denen gilt: f'(x_0)und ${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\text{'}\text{'}\left({\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0\right)}$ versagt dieses Kriterium, da hier eine mehrfache Nullstelle der ersten Ableitung [mehr dazu] vorliegt und somit evtl. der Vorzeichenwechsel fehlt (Beispiel: ${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)={\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^4}$).


Lokale und globale Minima bzw. Maxima

Ein globales Maximum ist der höchste Punkt eines Funktionsgraphen. Kein anderer Punkt ist höher bzw. gleich hoch.

Ein lokales Maximum (Hochpunkt) ist nicht der höchste Punkt eines Funktionsgraphen, aber in seiner Umgebung der höchste. Die Funktion nimmt noch höhere Funktionswerte an.

Die abgebildete Funktion ${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}$ hat bei ${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0}$ ein globales Maximum und bei ${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1}$ ein lokales Maximum.



Ein globales Minimum ist der tiefste Punkt eines Funktionsgraphen. Kein anderer Punkt ist niedriger bzw. gleich hoch.

Ein lokales Minimum (Tiefpunkt) ist nicht der tiefste Punkt eines Funktionsgraphen, aber in seiner Umgebung der niedrigste. Die Funktion nimmt noch niedrigere Funktionswerte an.

Die abgebildete Funktion ${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}$ hat bei ${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0}$ ein globales Minimum und bei ${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1}$ ein lokales Minimum.