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Sattel- bzw.Terrassenpunkte eines Funktionsgraphen

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

 
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Wie bestimmt man die Terrassenpunkte eines Funktionsgraphen?

Wie bestimmt man die Sattelpunkte eines Funktionsgraphen?
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Ein Sattelpunkt (auch Terrassenpunkt genannt) ist ein spezieller Wendepunkt.
In einem Sattelpunkt hat der Graph der Funktion eine waagerechte Tangente und einen Wendepunkt.

Die Vorgehensweise für die Ermittlung der Sattelpunkte ist:

1) Erste Ableitung f'(x) der Funktion f(x) bilden


2) Nullstellen der Ableitungsfunktion ermitteln :
     (Wo gibt es waagerechte Tangenten?)

     Ansatz:

     Erste Ableitung Null setzen:   f'(x)=0

     Nun die Gleichung f'(x)=0 nach x auflösen

Die Lösungen der Gleichung f'(x)=0 sind die x0 -Werte möglicher Sattelpunkte.


3) Zweite Ableitung f''(x) der Funktion f(x) bilden

4) Die Nullstellen der ersten Ableitung (x0 -Werte aus Punkt 2) ) in die zweite Ableitung einsetzen
     und prüfen ob gilt:   f''(x0)=0

(x0 soll eine Lösung der Gleichung f'(x)=0 sein.)


Die x0 -Werte eines Sattelpunkts müssen also Nullstellen der ersten und zweiten Ableitung sein!

Man sagt x0 erfüllt die notwendige Bedingung für ein Sattelpunkt:
f'(x0)=0   UND   f''(x0)=0



5) Dritte Ableitung f'''(x) von der Funktion f(x) bilden

6) Die x0 -Werte aus 4) in die dritte Ableitung einsetzen f'''(x0) und prüfen ob gilt:   f'''(x)≠0

Ist diese Bedingung erfüllt, liegt somit ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente, also ein Sattelpunkt vor.

Man sagt x0 erfüllt die hinreichende Bedingung für ein Sattelpunkt:
f'(x0)=0   UND   f''(x0)=0   UND   f'''(x0)≠0


Beispiel

f(x)=x3

1) Erste Ableitung f'(x) der Funktion f(x) bilden:

    f'(x)=3x2


2) Nullstellen der Ableitungsfunktion ermitteln:

    f'(x)=0

    3x2=0

    ⇒  x0=0

⇒   An der Stelle x0=0 ist ein möglicher Sattelpunkt.


3) Zweite Ableitung f''(x) der Funktion f(x) bilden:

    f''(x)=6x


4) Die Nullstelle x0 der ersten Ableitung in die zweite Ableitung einsetzen und prüfen ob gilt: f''(x0)=0

    f''(x0)=f''(0)=6⋅0=0

⇒   An der Stelle x0=0 ist ein möglicher Sattelpunkt.


5) Dritte Ableitung f'''(x) von der Funktion f(x) bilden:

    f'''(x)=6


6) Den x_0-Wert aus 4) in die dritte Ableitung einsetzen und prüfen ob gilt:   f'''(x0)≠0

    f'''(x0)=f'''(0)=6≠0

⇒   An der Stelle x0=0 hat die Funktion einen Sattelpunkt.

bild_1
Beispiel für eine Funktion ohne Sattelpunkt

f(x)=x4

1) Erste Ableitung f'(x) der Funktion f(x) bilden:

    f'(x)=4x3


2) Nullstellen der Ableitungsfunktion ermitteln:

    f'(x)=0

    4x3=0
    ⇒  x0=0

⇒   An der Stelle x0=0 ist ein möglicher Sattelpunkt.


3) Zweite Ableitung f''(x) der Funktion f(x) bilden:

    f''(x)=12x2


4) Die Nullstelle x0 der ersten Ableitung in die zweite Ableitung einsetzen und prüfen ob gilt: f''(x0)=0

    f''(x0)=f''(0)=12⋅02=0

⇒   An der Stelle x0=0 ist ein möglicher Sattelpunkt.


5) Dritte Ableitung f'''(x) von der Funktion f(x) bilden:

    f'''(x)=24x


6) Den x_0-Wert aus 4) in die dritte Ableitung einsetzen und prüfen ob gilt:   f'''(x0)≠0

    f'''(x0)=f'''(0)=24⋅0=0

Es gilt nicht f'''(x0)≠0

⇒   An der Stelle x0=0 hat die Funktion KEINEN Sattelpunkt.

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