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Wendepunkte eines Funktionsgraphen
Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe
 
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Wie bestimmt man die Wendepunkte eines Funktionsgraphen? |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Wendepunkte (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Notwendige Bedingung (So bestimmt man die Stellen, an denen Wendepunkte möglich sind.) 1) Zweite Ableitung der Funktion bilden. 2) Nullstellen der zweiten Ableitungsfunktion ermitteln: Ansatz: Zweite Ableitung Null setzen: Nun die Gleichung nach auflösen. Die Lösungen der Gleichung sind die -Werte möglicher Wendepunkte. Man sagt, sie erfüllen die notwendige Bedingung für ein Wendepunkt: soll eine Lösung der Gleichung sein) Hinreichende Bedingung (So bestimmt man, ob an den gefunden Stellen auch tatsächlich Wendepunkte vorliegen.) 3) Prüfen ob an den gefundenen Stellen tatsächlich Wendepunkte vorliegen. soll eine Lösung der Gleichung sein.) Hierfür gibt es 2 Methoden: Methode der dritten Ableitung: Dritte Ableitung bilden. Die -Werte aus 2) in die dritte Ableitung einsetzen: Prüfen ob gilt: Für ein Wendepunkt an der Stelle gilt stets: Man sagt erfüllt die hinreichende Bedingung für einen Wendepunkt: Wie der Graph der Funktion sein Krümmungsverhalten ändert, wird am Vorzeichen der dritten Ableitung abgelesen: UND so wechselt der Graph im Wendepunkt seine Krümmung von links nach rechts (anders: Der Graph wechselt im Wendepunkt von einer Linkskurve in eine Rechtskurve) bild_1 UND so so wechselt der Graph im Wendepunkt seine Krümmung von rechts nach links (anders: Der Graph wechselt im Wendepunkt von einer Rechtskurve in eine Linkskurve) bild_2 Methode des Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung: (wendet man eher selten an) Man prüft ob die zweite Ableitung ihr Vorzeichen an der Stelle wechselt, indem man untersucht wo die zweite Ableitung kleiner Null und größer Null ist: Wechselt die zweite Ableitung in der Umgebung seiner Nullstelle ihr Vorzeichen von "+" (Plus) auf "-" (Minus), so wechselt der Graph im Wendepunkt seine Krümmung von links nach rechts (anders: Der Graph wechselt im Wendepunkt von einer Linkskurve in eine Rechtskurve) Wechselt die zweite Ableitung in der Umgebung seiner Nullstelle ihr Vorzeichen von "-" (Minus) auf "+" (Plus), so so wechselt der Graph im Wendepunkt seine Krümmung von rechts nach links (anders: Der Graph wechselt im Wendepunkt von einer Rechtskurve in eine Linkskurve) Vorsicht: gilt nur bei stetigen Funktionen! |
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Beispiel: bild_1 1) Zweite Ableitung der Funktion bilden: – 2) Nullstellen der zweiten Ableitungsfunktion ermitteln: – bild_2 3) Prüfen ob an den gefundenen Stellen tatsächlich Wendepunkte vorliegen: Bestimmt mit der dritten Ableitung An der Stelle liegt ein Wendepunkt vor. Bei hat die Funktion eine Wendestelle, der Graph wechselt von einer Rechtskurve in eine Linkskurve. Alternative: Bestimmt über den Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung – 4 Für welche gilt ? – Für welche gilt ? – Die zweite Ableitung ist negativ für alle die kleiner sind als 2 und positiv für alle die größer sind als 2. Die zweite Ableitung wechsel also bei ihr Vorzeichen von "-" nach "+". Bei hat die Funktion eine Wendestelle, der Graph wechselt von einer Rechtskurve in eine Linkskurve. bild_3 |