Wendepunkte

Bei einem Wendepunkt ändert der Graph der Funktion sein Krümmungsverhalten von linksdrehend nach rechtsdrehend oder umgekehrt.



Man nennt den x-Wert des Wendepunkts auch Wendestelle.

Ansatz:

(an diesen Stellen kann es Wendepunkte geben)

Gilt zusätzlich zu ${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\text{'}\text{'}\left({\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0\right)=0}$ auch noch

so hat die Funktion an der Stelle ${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0}$ einen Wendepunkt.



Im Falle, dass ${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\text{'}\text{'}\text{'}\left({\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0\right)=0}$ ist, so sind weitere Untersuchungen notwendig um die Existenz eines Wendepunkt an der Stelle ${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0}$ zu bestätigen.





Vorgehensweise:

Ableitungen bestimmen ${\displaystyle (1.,2}$. und 3. Ableitung [mehr dazu])

2. Ableitung [mehr dazu] der Funktion gleich Null setzen

Setze die Nullstellen [mehr dazu] der zweiten Ableitung [mehr dazu] in die dritte Ableitung [mehr dazu] ein, ist das Ergebnis von Null verschieden, so liegt bei diesem x-Wert eine Wendestelle vor.

Um den y-Wert des Wendepunkts zu erhalten, setze die Wendestelle(n) in die Gleichung der Ausgangsfunktion ein.



Spezialfall:

Hat die Funktion an einer Wendestelle ${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0}$ eine waagerechte Tangente [mehr dazu], ${\displaystyle \mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}.\mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$. es gilt ${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\text{'}\left({\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0\right)=0,}$ so nennt man den Wendepunkt an der Stelle ${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0}$ Terrassenpunkt.