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Hoch- bzw. Tiefpunkte einer allg. Sinusfunktion

Schüler Gymnasium, 10. Klassenstufe

Wie bestimmt man die Hochpunkte bzw. die Tiefpunkte einer allgemeinen Sinusfunktion?

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Allgemeine Sinusfunktion

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Was man über Hoch- bzw. Tiefpunkte einer allgemeinen Sinusfunktion wissen sollte

Die Funktionsgleichung einer allgemeinen Sinusfunktion lautet: $f (x) = a \cdot sin (b x + x)$

Ein Hochpunkt ist der Punkt in der die Sinusfunktion ihren größten Funktionswert annimmt.

Ein Tiefpunkt ist der Punkt in der die Sinusfunktion ihren kleinsten Funktionswert annimmt.

Da die Sinusfunktion eine periodische Funktion ist, wiederholen sich die Hochpunkte bzw. die Tiefpunkte in jeder Periode ein mal, $d . h$ . der Abstand zwischen zwei Hochpunkte bzw. Tiefpunkte ist gleich einer Periodenlänge.

Zwischen zwei hintereinander folgende Nullstellen liegt in der Mitte (also auf halben Weg) entweder ein Hochpunkt oder ein Tiefpunkt.

Hoch- bzw. Tiefpunkte bestimmen ohne Kenntnisse über die Nullstellen

Beispiel:

Gegeben ist folgende Sinusfunktion: $f (x) = 1,5 \cdot sin (2 x - \frac{2 π}{3})$

Man ließt direkt von der Funktionsgleichung ab:

$a = 1,5, b = 2, c = \frac{2 π}{3}$

Die Periode dieser Sinusfunktion ist gleich: $T = \frac{2 π}{b} = \frac{2 π}{2} = π$

In einem Hochpunkt $x_{H}$ nimmt die Sinusfunktion den Wert $a = 1,5$ an, also muss folgende Gleichung gelöst werden:

$f (x) = 1,5$

$1,5 \cdot sin (2 x - \frac{2 π}{3}) = 1,5 | : 1,5$

$sin (2 x - \frac{2 π}{3}) = 1 | {sin}^{- 1}$ anwenden

$2 x - \frac{2 π}{3} = {sin}^{- 1} (1)$

$2 x - \frac{2 π}{3} = \frac{π}{2} | + \frac{2 π}{3}$

$2 x = \frac{7 π}{6} | : 2$

$\Rightarrow x_{H} = \frac{7 π}{12}$

Der erste Hochpunkt $x_{h} = \frac{7 π}{12}$ ist damit bestimmt worden.

Da der Abstand zwischen zwei Hochpunkte gleich der Preiodenlänge $T$ ist, findet man einen zweiten Hochpunkt indem man die Periodenlänge $T$ zum gefundenen Hochpunkt dazu addiert:

$x_{2} = x_{H} + T = \frac{7 π}{12} + π = \frac{19 π}{12}$

Einen dritten Hochpunkt wäre:

$x_{3} = x_{2} + T = \frac{19 π}{12} + π = \frac{31 π}{12}$

Die Gesamtheit aller Hochpunkte kann man auch zusammenfassend schreiben:

$x_{H} = \frac{7 π}{12} + k \cdot π$ mit $k \in ℤ$

Die Tiefpunkte werden genau so bestimmt:

In einem Tiefpunkt $x_{T}$ nimmt die Sinusfunktion den Wert $- a = - 1,5$ an, also muss folgende Gleichung gelöst werden:

$f (x) = - 1,5$

$1,5 \cdot sin (2 x - \frac{2 π}{3}) = - 1,5 | : 1,5$

$sin (2 x - \frac{2 π}{3}) = - 1 | {sin}^{- 1}$ anwenden

$2 x - \frac{2 π}{3} = {sin}^{- 1} (- 1)$

$2 x - \frac{2 π}{3} = \frac{3 π}{2} | + \frac{2 π}{3}$

$2 x = \frac{13 π}{6} | : 2$

$\Rightarrow x_{T} = \frac{13 π}{12}$

Der erste Tiefpunkt $x_{h} = \frac{13 π}{12}$ ist damit bestimmt worden.

Da der Abstand zwischen zwei Tiefpunkte auch gleich der Preiodenlänge $T$ ist, folgt:

$x_{T} = \frac{13 π}{12} + k \cdot π$ mit $k \in ℤ$

Hoch- bzw. Tiefpunkte bestimmen mit Kenntnisse über die Nullstellen

Kennt man die Lage der Nullstellen einer Sinusfunktion, dann lassen sich die Hoch- bzw. Tiefpunkte sehr leicht ausrechenen.

Als Beispiel die Sinusfunktion vom letzten Beitrag: $f (x) = 1,5 \cdot sin (2 x - \frac{2 π}{3})$

Diese Funktion hat folgende Nullstellen: $x_{N} = \frac{π}{3} + k \cdot \frac{π}{2}$ mit $k \in ℤ$

Nehmen wir 2 hintereinander folgende Nullstellen $(z . B$ . setzen wir $k = 0$ und $k = 1$ ein):

$x_{0} = \frac{π}{3}$ und $x_{1} = \frac{5 π}{6}$

Zwischen diesen zwei Nullstellen liegt entweder ein Hochpunkt oder ein Tiefpunkt.

Mittelpunkt ausrechenen: $x = \frac{x_{0} + x_{1}}{2} = \frac{\frac{π}{3} + \frac{5 π}{6}}{2} = \frac{7 π}{12}$

Einsetzten von $x = \frac{7 π}{12}$ in die Funktionsgleichung:

$f (\frac{7 π}{12}) = 1,5 \cdot sin (2 \cdot \frac{7 π}{12} - \frac{2 π}{3}) = 1,5 \cdot sin (\frac{π}{2}) = 1,5$

$\Rightarrow x_{H} = \frac{7 π}{12}$ ist ein Hochpunkt.

Der Abstand zwischen Hochpunkt und Tiefpunkt ist gleich die Hälfte der Periodenlänge $T$

$T = π$

$\Rightarrow \frac{T}{2} = \frac{π}{2}$

$\Rightarrow x_{T} = x_{H} + \frac{π}{2} = \frac{7 π}{12} + \frac{π}{2} = \frac{13 π}{12}$

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