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Ableitung der trigonometrischen Funktionen

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

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Ableitung der Sinusfunktion:

f (x) = sin x

f' (x) = cos

Ableitung der Kosinusfunktion:

f (x) = cos x

f' (x) = - sin x

Ableitung der Tangensfunktion:

f (x) = tan x

f' (x) = \frac{1}{{(cos x)}^{2}} = 1 + {(tan x)}^{2}

Beweis hierfür:

tan x = \frac{sin x}{cos x}

Nach der Quotientenregel gilt dann:

(tan x)' = (\frac{sin x}{cos x})'

= \frac{cos x \cdot cos x - sin x \cdot (- sin x)}{{(cos x)}^{2}}

= \frac{{(cos x)}^{2} + {(sin x)}^{2}}{{(cos x)}^{2}}

Durch das Aufteilen des Bruches:

\Rightarrow (tan x)' = \frac{{(cos x)}^{2} + {(sin x)}^{2}}{{(cos x)}^{2}} = \frac{{(cos x)}^{2}}{{(cos x)}^{2}} + \frac{{(sin x)}^{2}}{{(cos x)}^{2}} = 1 + {(tan x)}^{2}

Durch Anwendung des trigonometrischen Pythagoras:

{(sin x)}^{2} + {(cos x)}^{2} = 1

\Rightarrow (tan x)' = \frac{{(cos x)}^{2} + {(sin x)}^{2}}{{(cos x)}^{2}} = \frac{1}{{(cos x)}^{2}}

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