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Graph einer allgemeinen Sinusfunktion zeichnen

Schüler Gymnasium, 10. Klassenstufe

Wie zeichnet man den Graphen einer allgemeinen Sinusfunktion?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Tangensfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Allgemeine Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Kurvendiskussion (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Allgemeine Sinusfunktion
Aus Funktionsgleichung Skizze erkennen
Aus Skizze Funktionsgleichung ablesen
Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Symmetrie

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Die Funktionsgleichung einer allgemeinen Sinusfunktion lautet:

f (x) = a \cdot sin (b x + c)

Um den Graphen einer allgemeinen Sinusfunktion zu zeichnen muss Folgendes ermittelt werden:

1) Amplitude bzw. Wertebereich
Hier kann nach gelesen werden wie das ganz genau geht.

2) Periodenlänge
Hier kann nach gelesen werden wie das ganz genau geht.

3) Phasenverschiebung
Hier kann nach gelesen werden wie das ganz genau geht.

4) Nullstellen bzw. Schnittpunkte mit der x-Achse
Hier kann nach gelesen werden wie das ganz genau geht.

5) Hochpunkte bzw. Tiefpunkte
Hier kann nach gelesen werden wie das ganz genau geht.

6) markante Punkte

Im Anschluss können diese Werte bzw. Punkte im Koordinantensystem eingetragen und miteinander verbunden werden.

Beispiel:

f (x) = sin (2 x)

Die Sinusfunktion

f (x)

hat folgende Parameterwerte:

a = 1

b = 2

c = 0

1) Wertebereich:

Da

a = 1,

ist der Wertebereich gleich

W = [- 1; 1]

2) Periondenlänge:

Da

b = 2,

ist die Periodenlänge gleich

T = \frac{2 π}{2} = π

Der Graph der Sinusfunktion wiederholt sich also alle

π -

Schritte.

3) Phasenverschiebung:

Da

c = 0

gibt es keine Phasenverschiebung, der Graph der Sinusfunktion geht also durch den Ursprung.

4) Nullstellen:

f (x) = 0

sin (2 x) = 0

\Rightarrow x_{1} = 0

Der Abstand zwischen zwei Nullstellen ist gleich der Hälfte einer Periodenlänge

(\frac{T}{2})

\Rightarrow

Die Gesamtheit aller Nullstellen lautet:

x_{N} = k \cdot \frac{π}{2}

mit

k \in ℤ

Der Graph der Sinusfunktion schneidet die x-Achse also in den Punkten

0, \frac{π}{2}, π, \frac{3}{2} π, 2 π, \frac{5}{2} π, 3 π . .

.

5) Hochpunkte/Tiefpunkte:

Zwischen zwei (hintereinander folgende) Nullstellen liegt in der Mitte ein Hochpunkt (oder Tiefpunkt).
Zum Beispiel liegt zwischen 0 und

\frac{π}{2}

der Hochpunkt

x_{H} = \frac{0 + \frac{π}{2}}{2} = \frac{π}{4}

Der Abstand zwischen zwei (hintereinander folgende) Hochpunkten ist gleich einer Periodenlänge T.

\Rightarrow

Die Gesamtheit aller Hochpunkte lautet:

x_{H} = \frac{π}{4} + k \cdot π

mit

k \in ℤ

Der Graph der Sinusfunktion hat Hochpunkte in

x = \frac{π}{4}, \frac{5}{4} π, \frac{9}{4} π . .

.

Der Abstand zwischen einem Hochpunkt und der darauffolgende Tiefpunkt ist gleich einer halben Periodenlänge

(\frac{T}{2})

.
Zum Beispiel liegt bei

x_{T} = x_{H} + (\frac{T}{2}) = \frac{π}{4} + \frac{π}{2} = \frac{3}{4} π

ein Tiefpunkt

Da der Abstand zwischen zwei (hintereinander folgende) Tiefpunkten auch gleich einer Periodenlänge

T

ist, folgt:

\Rightarrow

Die Gesamtheit aller Tiefpunkte lautet:

x_{T} = \frac{3}{4} π + k \cdot π

mit

k \in ℤ

Der Graph der Sinusfunktion hat Tiefpunkte in

x = \frac{3}{4} π, \frac{7}{4} π, \frac{11}{4} π . .

.

6) markante Punkte:

Um sicher zu gehen, dass man den Verlauf des Graphen auch sehr genau einzeichnet kann man noch einige Funktionswerte bestimmen,

z . B . : f (x = \frac{π}{8}) = sin (2 \cdot \frac{π}{8}) = sin (\frac{π}{4}) \approx 0,71

.

Nun können die ermittelten Punkte im Koordinatensystem eingetragen werden:

Punkte

Letzter Schritt ist das Verbinden aller Punkte:

Graph

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565807

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