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Ableiten mit der Produktregel

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

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Wie leitet man das Produkt zweier Funktionen ab?

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Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
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Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

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?

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Um das Produkt zweier Funktionen

u (x)

und

v (x)

abzuleiten, verwendet man die Produktregel:

f (x) = u (x) \cdot v (x) \Rightarrow f' (x) = u' (x) \cdot v (x) + u (x) \cdot v' (x)

Vorgehensweise:

1) Ableitung der einzelnen Funktionen

(u' (x)

und

v' (x))

bilden

2) Produkt dieser Ableitungen mit der jeweiligen anderen Funktion addieren.

Beispiel

f (x) = x^{2} \cdot sin x

Hier ist

u (x) = x^{2}

und

v (x) = sin x

1) Ableitung der einzelnen Funktionen:

u' (x) = 2 x

v' (x) = cos x

2) Summe der Produkte bilden:

f' (x) = 2 x \cdot sin x + x^{2} \cdot cos x

Beispiel

f (x) = e^{x} \cdot (x + ln x)

Hier ist

u (x) = e^{x}

und

v (x) = x + ln x

1) Ableitung der einzelnen Funktionen:

u' (x) = e^{x}

v' (x) = 1 + \frac{1}{x}

2) Summe der Produkte bilden:

f' (x) = e^{x} \cdot (x + ln x) + (1 + \frac{1}{x}) \cdot e^{x}

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