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Ableitung der Umkehrfunktion einer Funktion

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Wie leitet man die Umkehrfunktion einer Funktion ab?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Es gibt zwei Verfahren, um die Ableitung der Umkehrfunktion zu ermitteln.

Vorgehensweise:

(1)

(2)

Umkehrfunktion ableiten

Oder ohne Bestimmung der Umkehrfunktion mit folgender Formel (Umkehrregel):

(1) (f^{- 1})' (y) = \frac{1}{f' (f^{- 1} (y))} = \frac{1}{f' (x)}

Diese Regel ist nur unter folgenden Voraussetzungen anwendbar:

- f

muss an der Stelle

x

differenzierbar sein

- f

darf an der Stelle

x

keine waagerechte Tangente haben

\Rightarrow f' (x) \neq 0

Begründung der Umkehrregel:

Die Steigungen von

f

und

f^{- 1}

verhalten sich reziprok, da die Graphen von

f

und

f^{- 1}

symmetrisch zur ersten Winkelhalbierenden sind.

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion

f

mit

f (x) = ln x

Bestimme die Ableitung der Funktion

f

mit der Umkehrregel.

Es gilt:

(f^{- 1})' (y) = \frac{1}{f' (f^{- 1} (y))} = \frac{1}{f'} (x)

Für den natürlichen Logarithmus

f (x) = ln (x)

lautet die Umkehrfunktion:

f^{- 1} (x) = e^{x}

Die Ableitung der Umkehrfunktion ist:

f^{- 1}' (x) = e^{x}

Dann lautet die Ableitung der Funktion:

f' (x) = \frac{1}{e^{ln x}} = \frac{1}{x}

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