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Kurvendiskussion einer gebrochen-rationalen Funktion

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer gebrochen-rationalen Funktion durch?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kurvendiskussion (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

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Eine gebrochen-rationale Funktion besteht aus dem Bruch zweier Funktionen. Die Funktionsgleichung einer gebrochen-rationalen Funktion lautet:

f (x) = \frac{p (x)}{q (x)}

p (x)

und

q (x)

sind dabei Polynomfunktionen der Form:

a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + ... + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0}

.

Eine Kurvendiskussion folgt immer dem gleichen Ablauf:

1) Ableitungen bilden:

f' (x), f'' (x)

und

f''' (x)

Für die Ableitung einer gebrochen-rationalen Funktion braucht man die Quotientenregel

2) Definitionsbereich bestimmen

In der Regel stellt man fest wo die Funktion NICHT definiert ist.

Eine gebrochen-rationale Funktion besteht aus einem Bruch. Die Nennerfunktion darf dabei nicht Null werden.

Ansatz:

q (x) = 0

3) Nullstellen bestimmen

Die Funktion schneidet in diesen Punkten die x-Achse.

Ansatz:

f (x) = 0 \Leftrightarrow p (x) = 0

4) Verhalten an den Grenzen des Definitionsbereichs

Man bildet die Grenzwerte an den äußeren Rändern des Definitionsbereichs und an den Definitionslücken.

Ist

z . B D_{f =} ℝ \ {1}

so bildet man die Grenzwerte:

lim_{x \to \infty} f (x)

lim_{x \to - \infty} f (x)

lim_{x \to 1^{+}} f (x)

lim_{x \to 1^{-}} f (x)

lim_{x \to 1^{+}}

bedeutet, dass man sich der "1" von rechts nähert.

lim_{x \to 1^{-}}

bedeutet, dass man sich der "1" von links nähert.

5)Symmetrie zum Koordinatensystem

I.d.R ist zu prüfen ob gilt:

f (- x) = f (x) \Rightarrow

Die Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse

f (- x) = - f (x) \Rightarrow

Die Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung

(0 | 0)

6) Monotonieverhalten

In welchen Abschnitten wächst/fällt die Funktion streng monoton?

Man untersucht in welchen Bereichen die erste Ableitung größer und kleiner 0 ist.

Da gebrochen-rationale Funktionen auf ihrem Definitionsbereich stetig sind, gilt:

f' (x) > 0

Die Funktion steigt in diesem Bereich streng monoton.

f' (x) < 0

Die Funktion fällt in diesem Bereich streng monoton.

7) Extrema /Terrassenpunkte
Wo hat die Funktion Minima, Maxima oder Terrassenpunkte?

Der Ansatz ist:

f' (x) = 0

Zusammen mit dem Monotonieverhalten kann dann unterschieden werden zwischen Maxima, Minima und Terrassenpunkt.

Wie man Extrempunkte bestimmt kann hier nachgelesen werden:
Extrempunkte eines Funktionsgraphen

Wie man zwischen Extrempunkt und Terrassenpunkt unterscheidet kann hier nachgelesen werden:
Sattelpunkte oder Terassenpunkte eines Funktionsgraphen

8) Wendepunkte

Wo hat die Funktion Wendepunkte?

Der Ansatz ist:

f'' (x) = 0

Prüfung mit

f''' (x_{0}) \neq 0

Wie man Wendepunkte bestimmt kann hier nachgelesen werden:
Wendepunkte eines Funktionsgraphen

9) Zeichnung

Der Graph der Funktion kann in einem Koordinatensystem eingezeichnet werden.

Beispiel

f (x) = \frac{x + 1}{x - 2}

1) Ableitungen bilden:

Verwendete Ableitungsregel: Quotientenregel

f' (x) = - \frac{3}{{(x - 2)}^{2}}

f'' (x) = \frac{6}{{(x - 2)}^{3}}

f''' (x) = - \frac{18}{{(x - 2)}^{4}}

2) Definitionsbereich bestimmen:

Für

x = 2

wird der Nenner Null

\Rightarrow D_{f} = ℝ

{

2}

3) Nullstellen bestimmen:

f (x) = 0

\frac{x + 1}{x - 2} = 0 \Rightarrow x + 1 = 0 \Rightarrow x = - 1

Die Funktion schneidet die x-Achse an der Stelle

x = - 1

f (0) = - \frac{1}{2}

Die Funktion schneidet die y-Achse an der Stelle

y = - \frac{1}{2}

Kurvendiskussion_gebrochen_rationale_Funktion_Nullstelle

4) Verhalten an den Grenzen des Definitionsbereichs:

lim_{x \to \infty} f (x) = lim_{x \to \infty} \frac{x + 1}{x - 2} = lim_{x \to \infty} \frac{x \cdot (1 + \frac{1}{x})}{x \cdot (1 - \frac{2}{x})} = lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{2}{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{1}{1} = 1

lim_{x \to - \infty} f (x) = lim_{x \to - \infty} \frac{x + 1}{x - 2} = lim_{x \to - \infty} \frac{x \cdot (1 + \frac{1}{x})}{x \cdot (1 - \frac{2}{x})} = lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{2}{x}} = \frac{1}{1} = 1

\Rightarrow f (x)

hat eine waagerechte Asymptote

y = 1

lim_{x \to 2^{-}} f (x) = lim_{x \to 2^{-}} \frac{x + 1}{x - 2} = \frac{3}{0^{-}} = - \infty

lim_{x \to 2^{+}} f (x) = lim_{x \to 2^{+}} \frac{x + 1}{x - 2} = \frac{3}{0^{+}} = \infty

\Rightarrow f (x)

hat eine senkrechte Asymptote

x = 2

Kurvendiskussion_gebrochen_rationale_Funktion_Grenzwerte

5) Symmetrie zum Koordinatensystem:

Nenner und Zähler sind nicht punktsymmetrisch zum Ursprung, also ist es auch nicht

f (x)

6) Monotonieverhalten:

Um das Monotonieverhalten der Funktion zu bestimmen

(i n

welchen Bereichen steigt der Graph der Funktion, in welchen Bereichen fällt die Funktion), betrachtet man die 1. Ableitung der Funktion.

Die 1. Ableitung der Funktion gibt die Steigung des Funktionsgraphen an.

f' (x) = - \frac{3}{{(x - 2)}^{2}}

Man erkennt leicht, dass die erste Ableitung immer negativ ist.

Diese Grafik zeigt den Graph der 1. Ableitung:

Kurvendiskussion_gebrochen_rationale_Funktion_Ableitung

Kurvendiskussion_gebrochen_rationale_Funktion_Ableitung

Eine gute Methode, herauszufinden, welches Vorzeichen die 1. Ableitung in einem Bereich hat, ist einen x-Wert aus dem Bereich in die 1. Ableitung einzusetzen.

f' (x) < 0

für

x \in] - \infty; 2 [

Die Funktion fällt in diesem Bereich streng monoton.

f' (x) < 0

für

x \in] 2; \infty [

Die Funktion fällt in diesem Bereich streng monoton.

f' (x)

ist für

x = 2

nicht definiert.

Kurvendiskussion_gebrochen_rationale_Funktion_Monotonie

7) Extrema /Terrassenpunkte bestimmen:

f' (x) = 0

Die erste Ableitung wird für kein

x

Null, es existieren also keine Extrempunkte.

8) Wendepunkte bestimmen:

f'' (x) = 0

Die zweite Ableitung wird für kein

x

Null, es existieren also keine Wendepunkte.

9) Zeichnung:

Kurvendiskussion_gebrochen_rationale_Funktion_Graph

657130

657122

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