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Kurvendiskussion einer Exponentialfunktion II

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer Exponentialfunktion durch?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kurvendiskussion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Allgemeine Exponentialfunktion - Einführung
Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten

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Die Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion lautet:

f (x) = a^{x}

wobei a die Basis und

x

die Variable ist (a

\in ℝ)

.

I.d.R werden verkettete Funktion im Zusammenhang mit einer Exponentialfunktion untersucht, also Funktionen der Form:

f (x) = g (x) \cdot a^{h (x)}

g (x)

und

h (x)

sind beliebige stetige Funktionen.

Eine Kurvendiskussion folgt immer dem gleichen Ablauf:

1) Ableitungen bilden:

f' (x), f'' (x)

und

f''' (x)

Wie man eine Exponentialfunktion ableitet kann hier nach gelesen werden:
Ableiten von Exponentialfunktionen

2) Definitionsbereich bestimmen

In der Regel stellt man fest wo die Funktion NICHT definiert ist.

3) Nullstellen bestimmen

Die Funktion schneidet in diesen Punkten die x-Achse.

Ansatz:

f (x) = 0

Funktionen der Form

a^{g (x)}

besitzen keine Nullstellen.

4) Verhalten an den Grenzen des Definitionsbereichs

Man bildet folgende Grenzwerte:

lim_{x \to \infty} f (x)

lim_{x \to - \infty} f (x)

5)Symmetrie zum Koordinatensystem

I.d.R ist zu prüfen ob gilt:

f (- x) = f (x) \Rightarrow

Die Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse

f (- x) = - f (x) \Rightarrow

Die Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung

(0 | 0)

Da die Exponentialfunktion

a^{x}

keine Symmetrie zum Koordinatensystem besitzt, kann diese auch für Funktionen der Form

g (x) \cdot a^{x}

ausgeschlossen werden.

6) Monotonieverhalten

In welchen Abschnitten wächst/fällt die Funktion streng monoton?

Man untersucht in welchen Bereichen die erste Ableitung größer und kleiner 0 ist.

Da Exponentialfunktionen stetig sind, gilt:

f' (x) > 0

Die Funktion steigt in diesem Bereich streng monoton.

f' (x) < 0

Die Funktion fällt in diesem Bereich streng monoton.

7) Extrema /Terrassenpunkte
Wo hat die Funktion Minima, Maxima oder Terrassenpunkte?

Der Ansatz ist:

f' (x) = 0

Zusammen mit dem Monotonieverhalten kann dann unterschieden werden zwischen Maxima, Minima und Terrassenpunkt.

Wie man Extrempunkte bestimmt kann hier nachgelesen werden:
Extrempunkte eines Funktionsgraphen

Wie man zwischen Extrempunkt und Terrassenpunkt unterscheidet kann hier nachgelesen werden:
Sattelpunkte oder Terassenpunkte eines Funktionsgraphen

8) Wendepunkte

Wo hat die Funktion Wendepunkte?

Der Ansatz ist:

f'' (x) = 0

Prüfung mit

f''' (x_{0}) \neq 0

Wie man Wendepunkte bestimmt kann hier nachgelesen werden:
Wendepunkte eines Funktionsgraphen

9) Zeichnung

Der Graph der Funktion kann in einem Koordinatensystem eingezeichnet werden.

Beispiel

f (x) = (x^{2} - 4) e^{- \frac{1}{2} x}

1) Ableitungen bilden:

Verwendete Ableitungsregel: Produktregel

f' (x) = (- \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + 2) e^{- \frac{1}{2} x}

f'' (x) = (\frac{1}{4} x^{2} - 2 x + 1) e^{- \frac{1}{2} x}

f''' (x) = (- \frac{1}{8} x^{2} + \frac{3}{2} x + \frac{5}{2}) e^{- \frac{1}{2} x}

2) Definitionsbereich bestimmen:

Die Funktionen

x^{2} - 4

und

e^{- \frac{1}{2} x}

sind auf ganz

ℝ

definiert.

\Rightarrow D_{f} = ℝ

3) Nullstellen bestimmen:

f (x) = 0

(x^{2} - 4) e^{- \frac{1}{2} x} = 0

e^{- \frac{1}{2} x}

hat keine Nullstellen.

\Rightarrow x^{2} - 4 = 0

x^{2} = 4

\Rightarrow x_{1,2} = \pm \sqrt{4} = \pm 2

Die Funktion schneidet die x-Achse an den Stellen

x_{1} = - 2

und

x_{2} = 2

f (0) = (0^{2} - 4) e^{- \frac{1}{2} \cdot 0} = - 4

Die Funktion schneidet die y-Achse an der Stelle

y = - 4

4) Verhalten an den Grenzen des Definitionsbereichs:

lim_{x \to \infty} f (x) = lim_{x \to \infty} (x^{2} - 4) e^{- \frac{1}{2} x} = lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} - 4}{e^{\frac{1}{2} x}} = lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{1}{2} \cdot e^{\frac{1}{2} x}} = 0^{+}

Für obigen Limes wurde die Regel von l'Hospital verwendet.

\Rightarrow

Die Funktion nähert sich von oben im Unendlichem an die x-Achse.

lim_{x \to - \infty} f (x) = lim_{x \to - \infty} (x^{2} - 4) e^{- \frac{1}{2} x} = \infty

5) Symmetrie zum Koordinatensystem:

Da die e-Funktion keine Symmetrie zum Koordinatensystem besitzt, kann diese auch für

f (x)

ausgeschlossen werden.

6) Monotonieverhalten:

Um das Monotonieverhalten der Funktion zu bestimmen

(i n

welchen Bereichen steigt der Graph der Funktion, in welchen Bereichen fällt die Funktion), betrachtet man die 1. Ableitung der Funktion.

Die 1. Ableitung der Funktion gibt die Steigung des Funktionsgraphen an.

f' (x) = (- \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + 2) e^{- \frac{1}{2} x}

Zunächst werden die Nullstellen der 1. Ableitung bestimmt (werden meist ohnehin für die Extrema benötigt).

f' (x) = 0

\Rightarrow (- \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + 2) e^{- \frac{1}{2} x} = 0

Da die Funktion

e^{- \frac{1}{2} x}

auf ganz

ℝ

positiv ist erkennt man leicht, dass der Vorzeichenwechsel nur durch den ersten Faktor der Ableitung bestimmt wird.

Die Funktion

- \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + 2

stellt eine nach unten gekrümmte Parabel da.

- \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + 2 = 0

\Rightarrow x_{1,2} = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- \frac{1}{2}) \cdot 2}}{2 \cdot (- \frac{1}{2})} = \frac{- 2 \pm \sqrt{8}}{- 1} = 2 \pm \sqrt{8}

x_{1} = 2 - \sqrt{8} \approx - 0,83

x_{2} = 2 + \sqrt{8} \approx 4,83

Damit sind die verschiedenen Monotoniebereiche der Funktion festgelegt.

Diese Grafik zeigt den Graph der 1. Ableitung:

MA_KD_eFunktion_II_Ableitung

Eine gute Methode, herauszufinden, welches Vorzeichen die 1. Ableitung in einem Bereich hat, ist einen x-Wert aus dem Bereich in die 1. Ableitung einzusetzen.

f' (x) < 0

für

x \in] - \infty; 2 - \sqrt{8} [

und für

x \in] 2 + \sqrt{8}; \infty [

Die Funktion fällt in diesem Bereich streng monoton.

f' (x) > 0

für

x \in] 2 - \sqrt{8}; 2 + \sqrt{8} [

Die Funktion steigt in diesem Bereich streng monoton.

MA_KD_eFunktion_II_Monotonie

7) Extrema /Terrassenpunkte bestimmen:

f' (x) = 0

Nach obiger Rechnung hat die Funktion Extrempunkte an den Stellen

x_{1} = 2 - \sqrt{8}

und

x_{2} = 2 + \sqrt{8}

Bei

x_{1} = 2 - \sqrt{8} \approx - 0,83

wechselt die Ableitung ihr Vorzeichen von - nach

+ \Rightarrow

Minimum

Bei

x_{2} = 2 + \sqrt{8} \approx 4,83

wechselt die Ableitung ihr Vorzeichen von

+

nach

- \Rightarrow

(lokales) Maximum

f (x_{1}) = f (2 - \sqrt{8}) \approx - 5,02

\Rightarrow P (- 0,83 | - 5,02)

Minimum

f (x_{2}) = f (2 + \sqrt{8}) \approx 1,73

\Rightarrow Q (4,83 | 1,73)

Maximum

8) Wendepunkte bestimmen:

f'' (x) = 0

\Rightarrow (\frac{1}{4} x^{2} - 2 x + 1) e^{- \frac{1}{2} x} = 0

\frac{1}{4} x^{2} - 2 x + 1 = 0

\Rightarrow x_{1,2} = \frac{- (- 2) \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot \frac{1}{4} \cdot 1}}{2 \cdot \frac{1}{4}} = \frac{2 \pm \sqrt{3}}{\frac{1}{2}} = 4 \pm 2 \sqrt{3}

f''' (x) = (- \frac{1}{8} x^{2} + \frac{3}{2} x + \frac{5}{2}) e^{- \frac{1}{2} x}

\Rightarrow f''' (x_{1}) = f''' (4 - 2 \sqrt{3}) \approx - 1,32 \neq 0

Bei

x_{1} = 4 - 2 \sqrt{3} \approx 0,54

hat die Funktion ein Wendepunkt.

\Rightarrow f''' (x_{2}) = f''' (4 + 2 \sqrt{3}) \approx 0,04 \neq 0

Bei

x_{2} = 4 + 2 \sqrt{3} \approx 7,46

hat die Funktion einen zweiten Wendepunkt.

\Rightarrow f''' (x_{1}) \approx - 1,32 < 0

Bei

x_{1} = 4 - 2 \sqrt{3} \approx 0,54

wechselt die Funktion von einer Linkskurve in eine Rechtskurve.

\Rightarrow f''' (x_{2}) \approx 0,04 > 0

Bei

x_{2} = 4 + 2 \sqrt{3} \approx 7,46

wechselt die Funktion von einer Rechtskurve in eine Linkskurve.

f (x_{1}) = f (4 - 2 \sqrt{3}) \approx - 2,84

\Rightarrow W_{1} (0,54 | - 2,84)

Wendepunkt

f (x_{2}) = f (4 + 2 \sqrt{3}) \approx 1,24

\Rightarrow W_{2} (7,46 | 1,24)

Wendepunkt

MA_KD_eFunktion_II_Wendepunkt

9) Zeichnung:

MA_KD_eFunktion_II_Graph

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598177

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