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Grenzwert mit l'Hospital bestimmen

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Wie bestimmt man einen Grenzwert mit der Regel von l'Hospital?

Wie bestimmt man einen Grenzwert, bei dem $\frac{0}{0}$ oder $\frac{\infty}{\infty}$ herauskommt?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
Grenzwerte im Unendlichen
e-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Die Regel von l'Hospital lautet:

$lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x)}{g (x)} = lim_{x \to x_{0}} \frac{f' (x)}{g' (x)}$

Durch das separate Ableiten der Zähler- und Nennerfunktion kann der Grenzwert bestimmt werden.

Dies wendet man an, wenn bei einem Grenzwert $\frac{0}{0}$ oder $\frac{\infty}{\infty}$ herauskommt.

Voraussetzungen, damit man die Regel von l'Hospital anwenden darf:

$-$ Der Grenzwert $\frac{f' (x)}{g' (x)}$ existiert
$- f (x)$ und $g (x)$ sind in einer Umgebung von $x_{0}$ differenzierbar
$- g' (x) \neq 0$ (zumindest in einer Umgebung von $x_{0})$

Beispiel

$lim_{x \to 1} \frac{4 x - 4}{x - 1} = lim_{x \to 1} \frac{(4 x - 4) \to 0}{(x - 1) \to 0} =$ ?

Regel von l’Hospital anweden:

$lim_{x \to 1} \frac{4 x - 4}{x - 1} = lim_{x \to 1} \frac{(4 x - 4)'}{(x - 1)'} = lim_{x \to 1} \frac{4}{1} = 4$

Beispiel

$lim_{x \to \infty} \frac{x - 1}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{(x - 1) \to \infty}{(e^{x}) \to \infty} =$ ?

Regel von l’Hospital anweden:

$lim_{x \to \infty} \frac{x - 1}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{(x - 1)'}{(e^{x})'} = lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x}} = 0$

Beispiel

$lim_{x \to 0} \frac{sin (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{sin (x) \to 0}{x \to 0} =$ ?

Regel von l’Hospital anweden:

$lim_{x \to 0} \frac{sin (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{(sin (x))'}{(x)'} = lim_{x \to 0} \frac{cos x}{1} = 1$

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