Regel von l'Hospital

Mit Hilfe der Regel von l'Hospital kann man sog. unbestimmte Grenzwerte berechnen.

Es gibt zwei Arten von unbestimmten Grenzwerten:

${\displaystyle \underset{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\to {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0}{lim}\frac{\mathrm{Z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{l<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\to 0}{\mathrm{N<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\to 0} }$ und ${\displaystyle \underset{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\to {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0}{lim}\frac{\mathrm{Z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{l<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\to \infty }{\mathrm{N<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\to \infty }}$

(Die Funktionswerte von Zähler bzw. Nenner gehen beide gegen 0 oder beide gegen unendlich)

In beiden Fällen kann man folgende Regel anwenden:



Durch das separate Ableiten der Zähler- und Nennerfunktion kann der Grenzwert bestimmt werden.



Voraussetzungen, damit man die Regel von l’Hospital anwenden darf:

${\displaystyle -}$Der Grenzwert ${\displaystyle \frac{\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\text{'}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}{\mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\text{'}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)} }$ existiert
${\displaystyle -\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}$ und ${\displaystyle \mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right) }$ sind in einer Umgebung von ${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0}$ differenzierbar
${\displaystyle -\mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\text{'}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)\ne 0 }$ (zumindest in einer Umgebung von ${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0)}$

Was, wenn wieder ein unbestimmter Ausdruck ${\displaystyle \frac{0}{0}}$ oder ${\displaystyle \frac{\infty }{\infty }}$ herauskommt?

Kommt nach dem Ableiten wieder ein unbestimmter Ausdruck heraus, wende die Regel von l'Hospital einfach mehrmals hintereinander an, bis ein bestimmter Ausdruck gefunden ist.