Wie bestimmt man den Grenzwert einer Funktion? |
Hierzu passend bei OnlineMathe: Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff) Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff) Wichtige Grenzwerte Funktion (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Ableiten mit der h-Methode Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen Grenzwerte im Unendlichen e-Funktion |
Wenn man von dem Grenzwert einer Funktion spricht, dann muss man unterscheiden zwischen dem Grenzwert einer Funktion an einer Stelle und dem Grenzwert einer Funktion im Unendlichen. Man schreibt hierfür: (Grenzwert im Punkt (Grenzwert im Unendlichen) |
Grenzwert einer Funktion an einer Stelle Untersucht man die Funktion an einer Stelle die nicht zum Definitionsbereich der Funktion gehört, ist zunächst zu unterscheiden, ob es sich um eine Definitionslücke oder um die äußere Grenze des Definitionsbereichs handelt. Beispiel: Wir betrachten an der Stelle . Die Funktion hat an dieser Stelle eine Definitionslücke . Zunächst bilden wir den rechtsseitigen Grenzwert: (Begründung: Der Betrag des Nenners wird immer kleiner, da durch wird der Betrag des Bruchs größer. Da Zähler und Nenner positiv sind, hat der Bruch positives Vorzeichen.) Nun bilden wir den linksseitigen Grenzwert: (Begründung: Der Betrag des Nenners wird immer kleiner, da durch wird der Betrag des Bruchs größer. Da aber durch eine negative Zahl geteilt wird, hat auch der Bruch negatives Vorzeichen.) Somit hat an der Stelle eine Polstelle Beispiel: Wir betrachten an der Stelle . Der Definitonsbereich endet an dieser Stelle. Daher müssen wir nur den rechtsseitigen Grenzwert bilden, da der linksseitige Grenzwert nicht existiert. |
Grenzwert einer Funktion im Unendlichen Mit ist gemeint: Wie verhalten sich die Funktionwerte, wenn man sehr große x-Werte . in den Funktionsterm einsetzt. Mit ist gemeint: Wie verhalten sich die Funktionwerte, wenn man sehr kleine x-Werte . in den Funktionsterm einsetzt. Beispiel: Je größer die Zahlen sind, die man für einsetzt, desto mehr nähert sich der Bruch dem Wert Null an. Je größer die Zahlen sind, die man für einsetzt, desto größer werden die Funktionswerte. |
Spezielle Grenzwerte Nicht immer sind die Ausdrücke bei der Limesbildung eindeutig. . sagt nichts aus. Solche Ausdrücke heißen "unbestimmte Ausdrücke". Man berechnet Grenzwerte in denen ein unbestimmter Ausdruck vorkommt mit der Regel von L’Hospital. Grenzwert mit l'Hospital bestimmen |