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Grenzwert einer Funktion

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Wie bestimmt man den Grenzwert einer Funktion?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
Grenzwerte im Unendlichen
e-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Ableitung an einer Stelle

Wie bestimmt man die Ableitung

f' (x)

einer Funktion

f (x)

an der Stelle

x_{0}

Grenzwert mit l'Hospital bestimmen

Wie bestimmt man einen Grenzwert mit der Regel von l'Hospital?

Wie bestimmt man einen Grenzwert, bei dem

\frac{0}{0}

oder

\frac{\infty}{\infty}

herauskommt?

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 3. Grades

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 3. Grades durch?

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades durch?

Wenn man von dem Grenzwert einer Funktion spricht, dann muss man unterscheiden zwischen dem Grenzwert einer Funktion an einer Stelle

x_{0}

und dem Grenzwert einer Funktion im Unendlichen.

Man schreibt hierfür:

lim_{x \to x_{0}} f (x)

(Grenzwert im Punkt

x_{0})

lim_{x \to \pm \infty} f (x)

(Grenzwert im Unendlichen)

Grenzwert einer Funktion an einer Stelle

x_{0}

Untersucht man die Funktion an einer Stelle

x_{0},

die nicht zum Definitionsbereich der Funktion gehört, ist zunächst zu unterscheiden, ob es sich um eine Definitionslücke oder um die äußere Grenze des Definitionsbereichs handelt.

Beispiel:

f (x) = \frac{1}{x}

Wir betrachten

f

an der Stelle

x_{0} = 0

. Die Funktion hat an dieser Stelle eine Definitionslücke

(D_{f} = ℝ {0})

.
Zunächst bilden wir den rechtsseitigen Grenzwert:

lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} = \infty

(Begründung: Der Betrag des Nenners wird immer kleiner, da durch wird der Betrag des Bruchs größer. Da Zähler und Nenner positiv sind, hat der Bruch positives Vorzeichen.)

Nun bilden wir den linksseitigen Grenzwert:

lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{x} = - \infty

(Begründung: Der Betrag des Nenners wird immer kleiner, da durch wird der Betrag des Bruchs größer. Da aber durch eine negative Zahl geteilt wird, hat auch der Bruch negatives Vorzeichen.)

Somit hat

f (x) = \frac{1}{x}

an der Stelle

x_{0}

eine Polstelle

Beispiel:

g (x) = ln (x + 1)

Wir betrachten

g

an der Stelle

x_{0} = - 1

.
Der Definitonsbereich endet an dieser Stelle.

(D_{g} =] - 1; \infty [)

Daher müssen wir nur den rechtsseitigen Grenzwert bilden, da der linksseitige Grenzwert nicht existiert.

Formel1

Grenzwert einer Funktion im Unendlichen

Mit

lim_{x \to \infty} f (x)

ist gemeint:

Wie verhalten sich die Funktionwerte, wenn man sehr große x-Werte

(z . B

1000)

in den Funktionsterm einsetzt.

Mit

lim_{x \to - \infty} f (x)

ist gemeint:

Wie verhalten sich die Funktionwerte, wenn man sehr kleine x-Werte

(z . B

- 1000)

in den Funktionsterm einsetzt.

Beispiel:

f (x) = \frac{1}{x}

lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0

Je größer die Zahlen sind, die man für

x

einsetzt, desto mehr nähert sich der Bruch dem Wert Null an.

f (x) = 2^{x}

lim_{x \to \infty} 2^{x} = \infty

Je größer die Zahlen sind, die man für

x

einsetzt, desto größer werden die Funktionswerte.

Spezielle Grenzwerte

Nicht immer sind die Ausdrücke bei der Limesbildung eindeutig.

Z . B

. sagt

\frac{\infty}{\infty}

nichts aus.
Solche Ausdrücke heißen "unbestimmte Ausdrücke".

Man berechnet Grenzwerte in denen ein unbestimmter Ausdruck vorkommt mit der Regel von L’Hospital.
Grenzwert mit l'Hospital bestimmen

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