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Tangente zu Funktionsgraphen bestimmen

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Wie bestimmt man den Term einer Tangente, die den Funktionsgraphen in einem vorgegebenen Punkt berührt?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Tangente (Mathematischer Grundbegriff)
Sekante (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Grundbegriffe der ebenen Geometrie
Kreise und Lagebeziehungen
Thaleskreis, Umkreis, Inkreis und Lage von Kreis und Gerade

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Eine Gerade die den Graphen einer Funktion in einem Punkt berührt heißt Tangente.

Die Funktionsgleichung einer Geraden lautet:

$y = m \cdot x + t$

$m$ ist die Steigung der Geraden.

Für eine Tangete, die den Graphen einer Funktion $f$ im Punkt $(x_{0} | y_{0})$ berührt, gilt:

Die Steigung der Tangete ist gleich der Ableitung der Funktion an der Stelle $x_{0}$

Mathematisch ausgedrückt:

1) $m = f' (x_{0})$

Da die Tangente durch den Punkt $(x_{0} | f (x_{0}))$ geht, erfüllt der Punkt die Funktionsgleichung.
Somit gilt (Punktkoordinaten werden in die Funktionsgleichung eingesetzt):

2) $y_{0} = m \cdot x_{0} + t$

Mit diesen 2 Eigenschaften kann jede Tangente bestimmt werden.

Der Punkt auf dem Funktionsgraphen ist gegeben.

$f (x) = x^{2}$

$P (1,1)$

Die Tangente soll bestimmt werden die den Funktionsgraphen von $f (x)$ im Punkt $P$ berührt.

Lösung:

1) Steigung $m$ bestimmen:

$m = f' (x_{0})$

$m = f' (1)$

$f' (x) = 2 x$

$\Rightarrow m = f' (1) = 2 \cdot 1 = 2$

2) Punktkoordinaten in die Geradengleichung einsetzen:

$y_{0} = m \cdot x_{0} + t$

$1 = m \cdot 1 + t$

Für $m$ kann das Ergebnis aus 1) eingesetzt werden:

$1 = 2 \cdot 1 + t$

$\Rightarrow t = - 1$

Somit lautet die Gleichung der Tangente: $y = 2 x - 1$

Die Steigung der Tangente ist gegeben.

$f (x) = x^{2}$

$m = 1$

Die Tangente soll bestimmt werden die den Funktionsgraphen von $f (x)$ mit einer Steigung $m = 1$ in einem Punkt (der nicht bekannt ist) berührt.

Lösung

1) Berührpunkt $(x_{0} | y_{0})$ bestimmen:

$f' (x) = 2 x$

$m = f' (x_{0})$

$1 = f' (x_{0})$

$1 = 2 x_{0}$

$\Rightarrow x_{0} = \frac{1}{2}$

$\Rightarrow y_{0} = f (x_{0}) = f (\frac{1}{2}) = {(\frac{1}{2})}^{2} = \frac{1}{4}$

Der Berührpunkt hat die Koordinaten $(\frac{1}{2} | \frac{1}{4})$

2) Punktkoordinaten in die Geradengleichung einsetzen:

$y_{0} = m \cdot x_{0} + t$

$\frac{1}{4} = m \cdot \frac{1}{2} + t$

$m = 1$ ist aus der Angabe bekannt:

$\frac{1}{4} = 1 \cdot \frac{1}{2} + t$

$\Rightarrow t = - \frac{1}{4}$

Somit lautet die Gleichung der Tangente: $y = x - \frac{1}{4}$

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