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Abbildungen(Bild, Urbild, Beweis)

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Tags: Bild, Funktion, Linear Abbildung, Mengenlehre, Relation., urbild

Mr-Maths aktiv_icon

20:23 Uhr, 23.10.2015

Hallo zusammen,

als erstes möchte ich den Begriff Bild und Urbild klären.
Also sei f: A->B und V eine Teilmenge von B, dann nennt man f^-1(V) ein Urbild von V unter f.
D.h. die "Pfeile" zeigen ja jetzt von B nach A, also ist f^-1(V) im Prinizp eine Teilmenge von A. Gut und f(A) wäre das Bild von A unter f.

Habe ich das soweit richtig verstanden?

Gruß
Mr-Maths

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen
Mengenlehre

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20:29 Uhr, 23.10.2015

Ja, richtig.

Mr-Maths aktiv_icon

09:00 Uhr, 24.10.2015

Ok, danke.

Folgende Definition ist mir jedoch unklar:

f^{- 1} (V) := {x \in A ∣ \exists y \in V : f (x) = y} \subseteq A

Wobei f: A->B und V eine Teilmenge von B ist.

Ich veruche mal die geschwungene Klammer zu analysieren:
Für x in A gibt es ein y in V und für die gilt f(x)=y. Also ist doch f(x) bzw. y in B bzw. V. Warum sollte das eine Teilmenge von A sein?

Was ist der genau Unterschied zwischen | und :? Beide meinen doch "für die gilt", oder?

DrBoogie aktiv_icon

10:03 Uhr, 24.10.2015

"Also ist doch

f (x)

bzw.

y

B

bzw.

V

. Warum sollte das eine Teilmenge von

A

sein?"

f (x)

ist in

B

x

aber in

A

. Und

f^{- 1} (V)

besteht aus

x

, nicht aus

f (x)

.

Um die Definition besser zu verstehen, betrachte einfach eine konkrete

f (x)

. Z.B.

f (x) = x^{2}

und

V = [1, 2]

. Was ist dann

f^{- 1} (V)

?

"Was ist der genau Unterschied zwischen | und :? Beide meinen doch "für die gilt", oder?"

Ja, beide meinen dasselbe.

Mr-Maths aktiv_icon

10:23 Uhr, 24.10.2015

f^-1(V) = {1, 1.414213562}

Weil die 2 in A auf 1,41... in B und die 1 in A auf die 1 in V(Teilmenge von B) zeigt. Und wenn man die Pfeile umdreht hat man doch die Inverse also V->A.

DrBoogie aktiv_icon

10:26 Uhr, 24.10.2015

Nein,

[1, 2]

ist ein Intervall, da kommt schon viel mehr als zwei Punkte raus bei

f^{- 1} ([1, 2])

. Um sich nicht mit

\sqrt{2}

herumplagen zu müssen, mach halt

f^{- 1} ([1, 4])

.

Update. Denk nach, was ist mit

- 1

Mr-Maths aktiv_icon

10:42 Uhr, 24.10.2015

Ok also V = [1,4], d.h. wenn V eine Teilmenge der ganzen Zahlen wäre, dann wäre V={1,2,3,4}, richtig?

Naja und f^-1(V) wäre dann ja eben {

\sqrt{(} 1), \sqrt{(} 2), \sqrt{(} 3), \sqrt{(} 4)

}. Und diese aufgezählte Menge ist doch Teilmenge von A und somit das Urbild von V unter f.

DrBoogie aktiv_icon

12:25 Uhr, 24.10.2015

Nein, ich meine nicht ganze Zahlen, sondern reelle Zahlen.

[1, 4]

besteht also aus unendlich vielen Punkten, dementsprechend wird auch

f^{- 1} ([1, 4])

aus unendlich vielen bestehen.
Und wie gesagt, denke an

- 1

Mr-Maths aktiv_icon

12:33 Uhr, 24.10.2015

Ja, dass ist mir klar, wenn V unendliche Punkte hat, muss natürlich auch f^-1(V) unendlichen Punkte haben.

Gib mir noch nen Tipp bzgl. "-1" bitte, denn dieser Wert kommt doch gar nicht vor im Intervall [1,4].

DrBoogie aktiv_icon

12:36 Uhr, 24.10.2015

Natürlich kommt

- 1

nicht im Interval

[1, 4]

, aber

f (- 1) = 1

doch. Deshalb muss nach Definition gelten

- 1 \in f^{- 1} ([1, 4])

Mr-Maths aktiv_icon

13:02 Uhr, 24.10.2015

Ja, stimmt. Für einen Wert 4 in V gibt es 2 Werte(-2 und 2) in f^1-(V).

Zurück zur Definition:

f^{- 1} (V) := {x \in A ∣ \exists y \in V : f (x) = y} \subseteq A

Also: Wir haben ein x in A und ein y in V für beide gilt: f(x)=y und dieser Wert y(der in V ist) ist eine Teilmenge von A.

Also ist dann V auch eine Teilmenge von A? Ist das möglich? Also laut der Definition schon.

DrBoogie aktiv_icon

13:25 Uhr, 24.10.2015

"dieser Wert y(der in V ist) ist eine Teilmenge von A."

Ein Wert ist keine Teilmenge, da bringst Du endgültig alles durcheinander.
Und

y

liegt nicht in

A

y

liegt in

f (A)

.

"Also ist dann V auch eine Teilmenge von A? Ist das möglich?"

Das kann schon sein, wenn

A

und

B

identisch sind. Aber allgemein kann man nur sagen, dass

V

f (A)

liegt.

Für mein Beispiel

f : x \to x^{2}

ist die Lösung

f^{- 1} ([1, 4]) = [- 2, - 1] \cup [1, 2]

.
Denk darüber nach, vielleicht wird es dann klarer.

Mr-Maths aktiv_icon

13:41 Uhr, 24.10.2015

"Ein Wert ist keine Teilmenge, da bringst Du endgültig alles durcheinander."

Ja, aber die Definition sagt, dass doch. Was bedeutet, dass denn in den geschwungenen Klammern in meiner Definition? Soll das eine Menge darstellen von allen y?

"Denk darüber nach, vielleicht wird es dann klarer."
Ja für den Wert -2 und 2 gibt es einen Wert 4. Die Werte -2 und 2 sind in A, genauer: in f^{-1}([1,4]).
Und der dazugehörige Wert 4 ist in V=[1,4], was wiederum eine Teilmenge von B ist.

Ich verstehe nur nicht wie ich das gerade gezeigte mit dem Inhalt der "geschwungenen Klammern" in der Definition in Zusammenhang bringe.

DrBoogie aktiv_icon

13:49 Uhr, 24.10.2015

"Was bedeutet, dass denn in den geschwungenen Klammern in meiner Definition? Soll das eine Menge darstellen von allen

y

?"

Nein, diese Menge besteht aus

x

. Woraus die Menge besteht, steht links vom Strich. Rechts davon steht die Bedingung, die diese

x

erfüllen sollen.

Wenn ich

{x \in A ∣ \exists y \in V

mit

f (x) = y}

in "normale" Sprache übersetze, dann wird es heißen "alle

x

aus

A

, für welche ein

y

aus

V

existiert, so dass

f (x) = y

gilt.

Mr-Maths aktiv_icon

14:24 Uhr, 24.10.2015

Achso, ja so ist es mir vollkommen klar, was die Definition sagt.

Ich formuliers nochmal: Für alle x in A, für welche ein y in V existiert, gilt f(x)=y.
Also f(x)=y ist sozusagen die Bedingung die obige x und y erfüllen müssen, um in dieser "Menge" zu sein können. Und "diese Menge" ist dann eine Teilmenge von A, was wiederum

f^{- 1} (V)

ist.

Ich fasse zusammen:
f: A->B und V ist eine Teilmenge von B. Man kann auch sagen, dass V eine Teilmenge von f(A) ist. Und es gibt ja jetzt gewisse Elemente in A, die auf die Elemente in V zeigen. Und wenn man die Pfeile umdreht hat man ja eine inverse Menge(darf man das so sagen? oder heißt das einfach nur Urbild statt inverses?)

f^{- 1} (V)

, die genau die ursprünglichen Elemente enthalten([-2,-1] und [1,2] im Beispiel für

x^{2}

).

edit: eigentlich ist das eine Rückfrage, sorry hab mich wohl verklickt.

DrBoogie aktiv_icon

14:30 Uhr, 24.10.2015

Du musst noch lernen, die Formulierungen sauberer zu schreiben. :-)

"Also f(x)=y ist sozusagen die Bedingung die obige x und y erfüllen müssen, um in dieser "Menge" zu sein können."

In dieser Menge ist nur

x

y

ist nur ein Teil der Bedingung an

x

, aber kein Element der Menge selber.

"Und "diese Menge" ist dann eine Teilmenge von A"

Das ist richtig.

"was wiederum

f^{- 1} (V)

ist."

Das aber nicht. Im allgemeinen Fall ist

f^{- 1} (V)

nur eine Teilmenge von

A

.

"

f : A - > B

und V ist eine Teilmenge von B."

Ja.

"Man kann auch sagen, dass V eine Teilmenge von f(A) ist."

Nein.

V

und

f (A)

liegen beide in

B

, aber

V

muss nicht in

f (A)

drin sein.

"Und es gibt ja jetzt gewisse Elemente in A, die auf die Elemente in V zeigen. Und wenn man die Pfeile umdreht hat man ja eine inverse Menge(darf man das so sagen? oder heißt das einfach nur Urbild statt inverses?)"

Man sagt Urbild. Das mit umgedrehten Pfeilen ist richtig.

Mr-Maths aktiv_icon

14:50 Uhr, 24.10.2015

Hm okay :-D).

Hier nochmal schnell die Definition:

f^{- 1} (V) := {x \in A ∣ \exists \in V : f (x) = y} \subseteq A

D.h. links vom | sind immer die Elemente die in der Menge "sein können" und rechts vom | steht die Bedingung, die eben genau bestimmte Elemente rausholt und dann in die Menge "schreibt". Richtig?

""Man kann auch sagen, dass V eine Teilmenge von f(A) ist.""
"Nein. V und f(A) liegen beide in B, aber V muss nicht in f(A) drin sein."

Okay, was ergibt dann "

{x \in A ∣ \exists \in V : f (x) = y} \subseteq A

"? Also "das" muss ja irgendetwas ergeben, somit es f^{-1}(V) sein kann. So ähnlich wie a=(3+4)*7.

Kann ich das auch folgendermaßen schreiben, denn dann ist es logisch und obige Frage hat sich erledigt?

f^{- 1} (V) := {x \in A ∣ \exists \in V : f (x) = y}

und

f^{- 1} (V) \subseteq A

DrBoogie aktiv_icon

14:59 Uhr, 24.10.2015

"D.h. links vom | sind immer die Elemente die in der Menge "sein können" und rechts vom | steht die Bedingung, die eben genau bestimmte Elemente rausholt und dann in die Menge "schreibt". Richtig?"

Richtig.
Und

f^{- 1} (V) \subseteq A

ist auch richtig.

Mr-Maths aktiv_icon

15:42 Uhr, 24.10.2015

Ah ok, gut dann hat mich dieses := verwirrt, indem ich dachte, dass es sich über den {}-Term und subset A auswirkt, tut es aber nicht und darum ist es nun klar.

Okay ich versuch dann mal folgendes zu beweisen, muss ja noch viel üben in der beziehung :-D):
Es seien A,B,V,W Mengen. Es sei f:A->B eine Funktion.
a)

f^{- 1} (V \cap W) = f^{- 1} (V) \cap f^{- 1} (W)

Gut da gibt es ja auch wieder hin- und rückrichtung.

"-->" erstmal:
Sei f:A->B und A,B,V,W Mengen. Gegeben ist

f^{- 1} (V \cap W)

und zu zeigen ist

f^{- 1} (V) \cap f^{- 1} (W)

.
Laut Gegebenen gilt

f^{- 1} (V \cap W) := {x \in A ∣ \exists y \in (V \cap W) : f (x) = y} \subseteq A

.
Durch

y \in (V \cap W)

, ist auch

y \in V

und

y \in W

, daher gilt

f^{- 1} (V) := {x \in A ∣ \exists y \in (V) : f (x) = y} \subseteq A

und

f^{- 1} (W) := {x \in A ∣ \exists y \in (W) : f (x) = y} \subseteq A

und somit stimmt die Behauptung.

Aber muss ich da jetzt auch einbringen, dass V und W Teilmengen von B sind? Oder ist es klar, dass

f^{- 1} (V \cap W)

ein Urbild von U schnitt V unter f ist?

Hm, ich glaube es ist besser geworden, aber ist noch ein bisschen schwer, mal sehen was du sagst :-).

(Ist halt jetzt ein Beispiel zu dem Thema Urbild, hoffe es passt noch hier hinein, ansonsten kann ich auch unter Aufforderung ein neues erstellen)

DrBoogie aktiv_icon

18:13 Uhr, 24.10.2015

"somit stimmt die Behauptung."

Womit somit?
Ich sehe hier keinen Beweis, nicht mal ansatzweise, tut mir leid.

Schon am Anfang machst Du etwas Komisches. Eigentlich soll dieser Beweis beginnen
mit den Worten "sei

x

ein beliebiger Element aus

f^{- 1} (V \cap W)

...".
Vielleicht solltest Du einfach ein Paar Beweise dieser Art durchlesen, wo die Gleichheit zweier Mengen gezeigt wird.

Mr-Maths aktiv_icon

19:20 Uhr, 24.10.2015

Ahhh ok.

Da war ja folgendes: Wenn man die Gleichheit von zwei Mengen bestimmen soll, dann macht man das so, indem man sagt, dass z.B. Menge A eine Teilmenge von B ist und umgekehrt, also hat man wieder zwei Teilbeweise, habe ich das so richtig verstanden?

"

\subseteq

"
Sei

x \in f^{- 1} (V \cap W)

beliebig. Wir zeigen

x \in f^{- 1} (V) \cap f^{- 1} (W)

. D.h. es ist zu zeigen

x \in f^{- 1} (W)

und

x \in f^{- 1} (V)

, also

x \in {x \in A ∣ \exists y \in V : f (x) = y} \subseteq A

und

x \in {x \in A ∣ \exists y \in W : f (x) = y} \subseteq A

.

Laut Annahme gilt auch

x \in {x \in A ∣ \exists y \in (V \cap W) : f (x) = y} \subseteq A

. Wähle nun

y \in (V \cap W)

, dann gilt

y \in V

und

y \in W

.

Hmm naja, ist zwar noch nicht fertig, aber bin ich das ungefähr richtig angegangen?
(Achso und x,y sind ja lokale Variableln in den {}, also ist es egal wie man diese nennt)
Am Ende ist doch klar, dass y aus W und aus V kommt, d.h. eig. wäre ja schon bewiesen, dass diese lange Definition mit (V

\cap

W) dieselbe ist wie die Def. mit V

\cap

Def. mit W.

DrBoogie aktiv_icon

19:26 Uhr, 24.10.2015

"Hmm naja, ist zwar noch nicht fertig, aber bin ich das ungefähr richtig angegangen?"

Ungefähr richtig. Blöderweise schreibst Du aber immer etwas komplett Falsches dazu.
Diesmal schreibst Du "wähle

y

so, dass...". Dabei kannst Du

y

gar nicht wählen.

Mr-Maths aktiv_icon

19:29 Uhr, 24.10.2015

Warum kann ich y nicht wählen, weil das von vom Element

x \ i n A

abhängt? Dann muss ich schreiben, dass für x in A eine Element y in V existiert UND, dass für dasselbe x in A dasselbe Element y in W existiert? Und das x kann man ja wählen.

DrBoogie aktiv_icon

23:35 Uhr, 24.10.2015

"Dann muss ich schreiben, dass für x in A eine Element y in V existiert UND, dass für dasselbe x in A dasselbe Element y in W existiert?"

Ja, so ist es schon besser.

Und wenn man das ohne überflüssige Wörter schreiben würde, wäre es so:
Sei

x

beliebig aus

f^{- 1} (V \cap W)

. Dann

\exists y \in V \cap W

, so dass

f (x) = y

. Dann liegt

y = f (x)

sowohl in

V

als auch in

W

, damit liegt

x

sowohl in

f^{- 1} (V)

als auch in

f^{- 1} (W)

. Also,

x \in f^{- 1} (V) \cap f^{- 1} (W)

Mr-Maths aktiv_icon

00:50 Uhr, 25.10.2015

Ah ok gut gut, dann wirds schon langsam. Jetzt heißts einfach üben, üben und üben :-D).

Kurze Fragen zu deinem Beweis:
1. Muss man nicht auch erwähnen, dass x ein Element von A auch ist? Oder ist das unnötig in dem Fall. Darf ich hier bei dem Beweis voraussetzten, dass jeder f^{-1}(V cap W) kennt, oder so?

2. Hm, warum ist es dann klar, dass y=f(x) in V als auch in W ist?

3. Das man den Beweis nun mit Teilmengen zeigt, ist richtig oder? Also die bereits gezeigte Varianet war ja "

\ s u b s e t e q

", oder? Und die nächste wäre umgekehrt dann.

DrBoogie aktiv_icon

09:04 Uhr, 25.10.2015

"1. Muss man nicht auch erwähnen, dass x ein Element von A auch ist? Oder ist das unnötig in dem Fall. Darf ich hier bei dem Beweis voraussetzten, dass jeder

f^{- 1} (V c a p W)

kennt, oder so?"

Ja, natürlich, die Angaben der Aufgabe können als allgemein bekannt vorausgesetzt werden, also ist es unnötig zu sagen, dass

x

A

liegt.

"2. Hm, warum ist es dann klar, dass y=f(x) in V als auch in W ist? "

Ein Element aus

V \cap W

liegt sowohl in

V

als auch in

W

nach Definition von

\cap

.

"3. Das man den Beweis nun mit Teilmengen zeigt, ist richtig oder? Also die bereits gezeigte Varianet war ja "\subseteq", oder? Und die nächste wäre umgekehrt dann. "

Ja, richtig.

Mr-Maths aktiv_icon

10:36 Uhr, 25.10.2015

Ah ok, danke. Ich muss immer zu jeden Beweis am Anfang schreibe, was gegeben ist und was zu zeigen ist, kann man machen, oder?

"

\supseteq

"
Sie

x \in f^{- 1} (V) \cap f^{- 1} (W)

beliebig. Zu zeigen ist

x \in f^{- 1} (V \cap W)

.
Laut Annahme ist also

x \in f^{- 1} (V)

mit

\exists y \in V

und

x \in f^{- 1} (W)

mit

\exists y \in W

, d.h. f(x)=y. Daher ist

y \in V \cap W

.

Bevor ich den Beweis fertigmache, muss ich was Fragen:
Wenn ich den Existenzquantor verwende bzw. Quantoren allgemein, dann ist ja die Variable(in dem Fall y) nur lokal innheralb des Quantors bekannt, richtig? Also muss ich doch irgendwie die Variabeln nach außen verlagern, sodass ich sagen kann, dass beide y gleich sind, oder?

DrBoogie aktiv_icon

10:43 Uhr, 25.10.2015

"Ah ok, danke. Ich muss immer zu jeden Beweis am Anfang schreibe, was gegeben ist und was zu zeigen ist, kann man machen, oder?"

Schadet nicht.

"Laut Annahme ist also

x \in f^{- 1} (V)

."

So steht es in der Annahme nicht.

"Wenn ich den Existenzquantor verwende bzw. Quantoren allgemein, dann ist ja die Variable(in dem Fall y) nur lokal innheralb des Quantors bekannt, richtig?"

Nein. Ich weiß gar nicht, was "innerhalb des Quantors" bedeuten kann. Aber

\exists

kann man immer mit dem Wort "existiert" ersetzen, daher ist natürlich möglich zu schreiben

\exists y

, so dass

f (x) = y

oder was auch immer.

Mr-Maths aktiv_icon

10:49 Uhr, 25.10.2015

"So steht es in der Annahme nicht."

Naja laut Annahme ist x nicht in f^-1(V), aber ich schrieb ja f^-1(V) mit ... UND f^-1(W) mit .... - Zählt das nicht?

Die Annahme ist doch

x \in f^{- 1} (W) \cap f^{- 1} (V)

DrBoogie aktiv_icon

10:54 Uhr, 25.10.2015

"Zählt das nicht?"

Ah ne, doch. Hier ist richtig.

Weiter aber nicht mehr, denn wenn Du schreibst

x \in f^{- 1} (V)

mit

\exists y \in V

, was soll dieses

y

? Wozu steht er da? Versuche das selber laut zu lesen, dann wirst Du sehen, wie komisch das klingt.
Du musst es so schreiben, dass es auch in "normaler" Sprache sinnvoll bleibt.

Mr-Maths aktiv_icon

11:12 Uhr, 25.10.2015

Hmm jo stimmt, dass klingt nicht gut.

Dann schreib ichs so: Laut Annahme ist also

x \in f^{- 1} (W)

und

x \in f^{- 1} (V)

. Somit

\exists y \in V

und

\exists y \in W

, sodass f(x)=y ist. Also ist

f (x) \in V \cap W

und daher ist gezeigt, dass

x \in f^{- 1} (W \cap V)

.

Analyse: Ich habe ja jetzt gezeigt, dass x ein Element vom Urbild W unter f und vom Urbild V unter f ist und dann auch gezeigt, dass ein y in V und dasselbe y in W existiert und das halt f(x)=y ist(steht ja so in der definition vom Urbild) usw.

Stimmt das so?

DrBoogie aktiv_icon

11:36 Uhr, 25.10.2015

Ja, so ist richtig.

Mr-Maths aktiv_icon

11:54 Uhr, 25.10.2015

Okay, sehr gut, danke.

Also folgendes habe ich aufgeschrieben bzgl. lokaler Variable innerhalb der Quantoren:

\exists b \in B : x \in b

Wenn ich dann schreibe

b \in A

, dann ist das b hier nicht dasselbe wie das b "im" Quantor.
Mit "innerhalb" des Quantors meine ich eben einfach die paar Bedingungen, die nach dem "

\exists

" stehen.

Weißt du was ich meine?

DrBoogie aktiv_icon

12:00 Uhr, 25.10.2015

"Wenn ich dann schreibe b∈A, dann ist das b hier nicht dasselbe wie das b "im" Quantor."

Wenn es eine neue Aussage wird, dann ja. Das wäre irreführend, daher ist zu empfehlen, einen anderen Buchstaben zu nutzen.

Mr-Maths aktiv_icon

12:02 Uhr, 25.10.2015

Und was ist, wenn b wirklich in A wäre laut einer Annahme? Kann ich dann auch einfach b \in A schreiben und man weiß, dass beide b's dieselben sind? Oder wäre es nicht besser zu sagen, dass b1 \in A ist und dann b1=b zu sagen?

DrBoogie aktiv_icon

12:05 Uhr, 25.10.2015

Wenn es um dasselbe konkrete

b

geht, dann muss es auch immer

b

heißen.
Der

\exists

-Quantor verbietet es nicht, denn in diesem Quantor geht es ja auch um ein konkretes Objekt.

Mr-Maths aktiv_icon

13:50 Uhr, 25.10.2015

Ok, gut danke.

Wenn man das ganze nun statt

\cap

mit \ beweisen will, dann gilt folgendes:

\exists y \in V

aber

\forall y \notin W

. Stimmt das so? Also ist nur ein kleiner Auschnitt vom Beweis, der gebraucht wird.

DrBoogie aktiv_icon

17:51 Uhr, 25.10.2015

"dann gilt folgendes"

Was folgt, ist sinnlos.

Mr-Maths aktiv_icon

17:55 Uhr, 25.10.2015

Naja Wenn man schreibt:

"... Laut anname ist x ein Element aus f^-1(V) und x ist kein Element aus f^-1(W). Daher existiert ein y in V aber es existiert kein y in W"

Hm nagut, ich dachte ich muss den Existenzquantor negieren und da kommt der Allquantor raus.

"Es existiert kein y in W" -->

\exists y \notin W

Schreibt man das so?

DrBoogie aktiv_icon

18:03 Uhr, 25.10.2015

"Schreibt man das so?"

Nein.

Du schreibst sowieso alles zu kompliziert. Wenn Du z.B.

x \in f^{- 1} (V)

hast, musst Du gar nicht

\exists y

usw. schreiben, es reicht zu schreiben

f (x) \in V

, ohne jegliches

y

Mr-Maths aktiv_icon

18:07 Uhr, 25.10.2015

D.h.

f (x) \notin W

als Ergänzung, um klar zu machen, dass f(x) halt nicht in W ist.

DrBoogie aktiv_icon

18:50 Uhr, 25.10.2015

Ja, so.

Mr-Maths aktiv_icon

19:05 Uhr, 25.10.2015

Ok, dann folgendes:

"

\subseteq

"
Sei

x \in f^{- 1} (V \ W)

beliebig. Zu zeigen ist

x \in f^{- 1} (V) \ f^{- 1} (W)

.
Laut Annahme

\exists y \in (V \ W)

, sodass f(x)=y. Daher ist

f (x) \in V

und

f (x) \notin W

. Somit ist gezeigt, dass

x \in f^{- 1} (V)

, aber

x \notin f^{- 1} (W)

.

"

\supseteq

"
Sei

x \in f^{- 1} (V) \ f^{- 1} (W)

beliebig. Zu zeigen ist

x \in f^{- 1} (V \ W)

.
Laut Annahme ist

x \in f^{- 1} (V)

und

x \notin f^{- 1} (W)

, daher

\exists y \in V

, somit f(x)=y und es gilt

f (x) \in (V \ W)

, was zeigt, das

x \in f^{- 1} (V \ W)

.

Habs ohne nachgucken auf Anhieb so gemacht. Müsste eigentlich grob passen, oder? Freu mich aber über Verbesserungsvorschläge :-D).

DrBoogie aktiv_icon

19:28 Uhr, 25.10.2015

Die

\subseteq

ist OK.
Dir Rückrichtung nicht, wieder ist es ein

y

, das niemand braucht. Du musst einfach schreiben

f (x)

liegt in

V

, aber nicht in

W

, also

f (x) \in V \ W

, damit

x \in f^{- 1} (V \ W)

Mr-Maths aktiv_icon

19:30 Uhr, 25.10.2015

Hmm ok, aber warum haben wir das

\exists y

beim anderen Beispiel für "

\supseteq

" dann gebraucht?

DrBoogie aktiv_icon

19:33 Uhr, 25.10.2015

Das war nirgendwo wirklich gebraucht. Nur manchmal störte es nicht besonders. :-)

Mr-Maths aktiv_icon

18:19 Uhr, 07.11.2015

Ok, ich habe mir das nochmals durchgedacht und habs viel einfacher gestaltet. Es stimmt, dass die ganzen Existenz-quantor wirklich umsonst waren :-D).

Beweis:
Sei

f : A \to B

eine Funktion, A,B,V,W Mengen
"

\subseteq

"
Sei

x \in f^{- 1} (V \cap W)

beliebig. Zu zeigen ist

x \in f^{- 1} (V) \cap f^{- 1} (W)

.
Laut Annahme ist

f (x) \in V \cap W

, also muss

f (x) \in V

und

f (x) \in W

sein, daher gilt

x \in f^{- 1} (V)

und

x \in f^{- 1} (W)

und es folgt

x \in f^{- 1} (V) \cap f^{- 1} (W)

, was zu zeigen war.

"

\supseteq

"
Sei

x \in f^{- 1} (V) \cap f^{- 1} (W)

beliebig. Zu zeigen ist

x \in f^{- 1} (V \cap W)

.
Laut Annahme ist

x \in f^{- 1} (V)

und

x \in f^{- 1} (W)

, also ist

f (x) \in V

und

f (x) \in W

, es folgt

f (x) \in V \cap W

und darum ist

x \in f^{- 1} (V \cap W)

, was zu zeigen war.

Dieses y=f(x) setzen war voll umsonst, ich hab mich wohl zu sehr auf die Definition vom "Urbild" beschränkt.

Müsste so passen?

DrBoogie aktiv_icon

19:13 Uhr, 07.11.2015

Ja, jetzt ist alles gut. :-)

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