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Abgeschlossene Mengen
Universität / Fachhochschule
Maßtheorie
Mengentheoretische Topologie
Tags: abgeschlossene Mengen, Kartesisches Produkt, Kreuzprodukt, Maßtheorie, Mengentheoretische Topologie, Quader
 
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Hallo, ich hänge aktuell leider schon wieder an einer Aufgabe (s. Anhang). Mir ist überhaupt nicht klar, wie ich hier vorgehen soll. Zwar weiß ich, was weiß ich zeigen soll (nämlich dass das Komplement des kartesischen Produkts offen ist), und was ich weiß ( und sind offen), aber ich weiß nicht, wie ich von der Offenheit der einzelnen Mengen auf die Offenheit des kartesischen Produkts schließen kann. Ich hatte schon überlegt, dass Produkt mittels Identitäten umzuschreiben, aber am Ende erhalte ich ja trotzdem immer irgendwo ein kartesisches Produkt und bin somit fast wieder am Anfang. Danke für Tipps. VG KTest00  Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Das geht viel einfacher über Folgen. Habt Ihr nicht bewiesen, dass abgeschlossen im Sinne "komplement von offen" ist dazu äquivalent, dass die Grenzwerte der Folgen drin liegen? Diese Äquivalenz gilt in jedem metrischen Raum. |
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Du meinst sowas hier? Ist eine Folge von Punkten aus M, die gegen einen Punkt a konvergiert, so ist a Element von M. ist abgeschlossen. Allerdings kann ich damit noch weniger anfangen? |
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Doch, damit ist es einfacher. Denn <=> und . |
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Also ehrlich gesagt weiß ich nicht, wie ich das damit beweisen soll. (Mit dem aktuellen Übungsblatt hab ich irgendwie größere Schwierigkeiten als sonst ;() |
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Sei eine konvergente Folge, wobei und . Dann konvergieren und . Die Mengen und sind abgeschlossen => und liegen entsprechend in und . Damit liegt in . Also, ist abgeschlossen. Was er kompliziert? |
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Eigentlich ist es nicht kompliziert, nein. Danke! Ich habe noch eine Frage zu der Quader-Aufgabe (b): Meine Idee wäre jetzt gewesen: Der Quader lässt sich darstellen als . Aber diese Intervalle sind alle abgeschlossen, d.h. der Quader selbst ist (induktiv nach Teil (a)) auch abgeschlossen. Das sollte doch so funktionieren, oder? Lässt es sich irgendwie rigoros begründen, dass der Quader sich in dieser Form darstellen lässt oder kann ich einfach schreiben, dass dies direkt aus der Definition folgt? |
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"Das sollte doch so funktionieren, oder?" Ja, so geht das. "Lässt es sich irgendwie rigoros begründen, dass der Quader sich in dieser Form darstellen lässt oder kann ich einfach schreiben, dass dies direkt aus der Definition folgt?" Folgt direkt. |
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Alles klar, dann nochmal vielen Dank für die Hilfe und die Geduld. |
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