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Kugel- und Würfelvolumen

Schüler Gymnasium, 10. Klassenstufe

Wie vergleicht man das Volumen einer Kugel mit dem eines Würfels?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)
Kegel (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächenmessung
Oberfläche und Volumen von Kugel, Kegel und Zylinder
Raummessung
Volumen einer Pyramide

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Gegeben:

V_{K}

(Kugelvolumen),
Gesucht: Seitenlänge a des Würfels mit gleichem Volumen

V_{W} = V_{K}

Beispiel

V_{K} = 27 c m^{3}

V_{W} = a^{3}

Volumina gleich setzen:

V_{W} = V_{K} \Rightarrow a^{3} = 27

\Rightarrow a = \sqrt[3]{27} = 3 c m

Gegeben:

V_{W}

(Würfelvolumen),
Gesucht:

r

(Radius) der Kugel mit gleichem Volumen

V_{K} = V_{W}

Beispiel

V_{W} = 27 c m^{3}

Volumina gleich setzen:

V_{K} = V_{W} \Rightarrow \frac{4}{3} \cdot π \cdot r^{3} = 27

\Rightarrow r = \sqrt[3]{\frac{27 \cdot 3}{4 \cdot π}} \approx 1,86

Gegeben:

V_{W}

(Würfelvolumen) ist gleich

V_{K}

(Kugelvolumen)
Gesucht: Verhältnis der Oberflächen

A_{W}

(Würfeloberfläche) und

A_{K}

(Kugeloberfläche)

Beispiel

V_{W} = a^{3}

V_{K} = \frac{1}{6} \cdot π \cdot d^{3}

Volumina gleich setzen:

V_{W} = V_{K}

\Rightarrow a^{3} = \frac{1}{6} \cdot π \cdot d^{3}

Die Gleichung nach

d

auflösen:

\Rightarrow d = \sqrt[3]{\frac{6}{π}} \cdot a

d

einsetzen in Formel für Kugeloberfläche

A_{K} = π \cdot d^{2} = π \cdot {(\sqrt[3]{\frac{6}{π}})}^{2} \cdot a^{2}

Oberflächen ins Verhältnis setzen:

A_{W} = 6 \cdot a^{2}

\Rightarrow \frac{A_{W}}{A_{K}} = \frac{6 \cdot a^{2}}{π \cdot {(\sqrt[3]{\frac{6}{π}})}^{2} \cdot a^{2}}

Der Term

a^{2}

kürz sich raus und man kann mittels Taschenrechner den Bruch ausrechenen:

\Rightarrow \frac{A_{W}}{A_{K}} = \frac{6}{π \cdot {(\sqrt[3]{\frac{6}{π}})}^{2}} \approx 1,241

\Rightarrow

Die Würfeloberfläche ist also etwa das 1,241fache der Kugeloberfläche

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