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Kugel - Oberfläche und Volumen

Schüler Gymnasium, 10. Klassenstufe

Wie berechnet man Kugeloberfläche und Kugelvolumen?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)
Kegel (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächenmessung
Oberfläche und Volumen von Kugel, Kegel und Zylinder
Raummessung
Volumen einer Pyramide

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Gegeben:

r

(Radius) oder

d

(Durchmesser)
Gesucht:

V

(Kugelvolumen), A (Kugeloberfläche)

1. Beispiel

r = 2

\Rightarrow A = 4 \cdot π \cdot r^{2} = 4 \cdot π \cdot 2^{2} = 16 \cdot π \approx 50,26 c m^{2}

\Rightarrow V = \frac{4}{3} \cdot π \cdot r^{3} = \frac{4}{3} \cdot π \cdot 2^{3} = \frac{4}{3} \cdot π \cdot 8 \approx 33,51 c m^{3}

2. Beispiel

d = 4

\Rightarrow A = π \cdot d^{2} = π \cdot 4^{2} = 16 \cdot π \approx 50,26 c m^{2}

\Rightarrow V = \frac{1}{6} \cdot π \cdot d^{3} = \frac{1}{6} \cdot π \cdot 4^{3} = \frac{1}{6} \cdot π \cdot 64 = 33,51 c m^{3}

Gegeben:

V

(Kugelvolumen)
Gesucht:

r

(Radius) oder

d

(Durchmesser), A (Kugeloberfläche)

Beispiel

V = 40 c m^{3}

Formel für Kugelvolumen nach

r

umstellen:

V = \frac{4}{3} \cdot π \cdot r^{3} \Rightarrow r = \sqrt[3]{\frac{3 \cdot V}{4 \cdot π}}

\Rightarrow r = \sqrt[3]{\frac{3 \cdot 40}{4 \cdot π}} \approx 2,12 c m

\Rightarrow d = 2 \cdot r = 2 \cdot 2,12 = 4,24 c m

\Rightarrow A = 4 \cdot π \cdot r^{2} = 4 \cdot π \cdot {2,12}^{2} = 4 \cdot π \cdot 4,49 \approx 56,48 c m^{2}

Gegeben: A (Kugeloberfläche)
Gesucht:

r

(Radius) oder

d

(Durchmesser),

V

(Kugelvolumen)

Beispiel

A = 25 c m^{2}

Formel für Kugeloberfläche nach

r

umstellen:

A = 4 \cdot π \cdot r^{2} \Rightarrow r = \sqrt{\frac{A}{4 \cdot π}}

\Rightarrow r = \sqrt{\frac{25}{4 \cdot π}} \approx 1,41 c m

\Rightarrow d = 2 \cdot r = 2 \cdot 1,41 = 2,82 c m

\Rightarrow V = \frac{4}{3} \cdot π \cdot r^{3} = \frac{4}{3} \cdot π \cdot {1,41}^{3} = \frac{4}{3} \cdot π \cdot 2,80 \approx 11,74 c m^{3}

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