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Herleitung des Kugelvolumens

Schüler Gymnasium, 10. Klassenstufe

Wie entsteht die Formel für das Kugelvolumen?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Das Volumen einer Kugel

K

mit Radius

r

ist gleich:

V_{K} = \frac{4}{3} π r^{3}

Man leitet diese Formel über den Satz von Cavalieri her:

Körper, die auf jeder Höhe

h

flächengleiche Querschnitte besitzen,
haben dasselbe Volumen.

Als Beispiel: Zwei Türme aus Münzen.

Muenzenturm

Nimmt man nun eine Halbkugel mit Radius

r

und ein Zylinder mit gleicher Grundfläche und Höhe (also auch gleich

r)

aus dem ein gerader Kreiskegel (auch mit Radius

r)

"entnommen" wurde, und man vergleicht diese Körper miteinander, dann kann man zeigen, dass sie dasselbe Volumen haben.

Kugel_2

Dafür schneidet man beide Körper entlang ihrer Grundfläche mit einer Schnittebene auf einer Höhe

h

. Bei der Halbkugel entsteht als Schnittfläche eine Kreisscheibe mit Radius

r'

und bei dem Zylinder einen Kreisring.

Kugel_3_rez

Für den Flächeninhalt der Kreisscheibe gilt:

Kugel_4

A_{S} = π \cdot r'^{2}

A_{S} = π \cdot (r^{2} - h^{2})

(Pythagoras)

A_{S} = π \cdot r^{2} - π \cdot h^{2}

Der Flächeninhalt des Kreisrings ist gleich der Fläche des Außenkreises minus der Fläche des Innenkreises.

Der Außenkreis hat Radius

r

und somit eine Fläche von

A_{A K} = π \cdot r^{2}

Der Innenkreis hat Radius

h

(Pythagoras) und somit eine Fläche von

A_{I K} = π \cdot h^{2}

Die Differenz der beiden Flächen ist dann gleich der Fläche der Kreisscheibe

\Rightarrow A_{K S} = π \cdot r^{2} - π \cdot h^{2}

Somit hat man aber auch gezeigt, dass die Fläche der Kreisscheibe gleich der Fläche des Kreisring ist.

\Rightarrow A_{S} = A_{K S}

Da diese Gleicheit für alle Höhen

h

gilt, muss nach dem Satz von Cavalieri gelten, dass das Volumen der beiden Körper gleich ist.

\Rightarrow V_{H a l b k u g e l} = V_{Z y l i n d e r} - V_{K e g e l} = π \cdot r^{2} \cdot r - \frac{1}{3} \cdot π \cdot r^{2} \cdot r = \frac{2}{3} \cdot π \cdot r^{3}

Somit ist das Volumen der Kugel gleich:

V_{K} = 2 \cdot V_{H a l b k u g e l} = \frac{4}{3} \cdot π \cdot r^{3}

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