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Abzählbar viele unstetigkeitsstellen
Universität / Fachhochschule
Stetigkeit
Tags: Stetigkeit
 
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Hallo!
Ich hätte eine frage zur Aufgabe 5 und zwar zur Lösung:
http://www.math.uzh.ch/index.php?file&key1=5723
Wieso reicht es bei der abzählbarkeit mit den rationalen Zahlen zu argumentieren? Ich arbeite doch in R?
lg |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff) |
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. aber es wurde gezeigt, dass du zwischen und an der Unstetigkeitsstelle a eine rationale Zahl finden kannst, da ja definitv also eine Lücke in y-Richtung existiert. a ist an dieser Stelle also unstetig, da ja und aus der Monotonie (je nach steigend oder fallend) folgt ja dann oder Man kann also dieser Lücke eine rationale Zahl zuordnen. (Mal ein Zahlenbeispiel: Sei und dann ist es doch kein Problem, dazwischen eine rationale Zahl zu finden, . das arithm. Mittel. oder sei: und so könntest du mit also eine rationale Zahl aus dem Mittel von und finden) Auf Grund der (steigenden) Monotonie liegt die nächste Lücke definitiv "höher", man kann dieser Lücke dann eine größerer rationale Zahl zuordnen. Die Menge aller Lücken kann somit nur maximal abzählbar unendlich sein, da du ja nur Elemente der rationalen Zahlen zum Abzählen der Lücken brauchst. ...besser krieg ich's nicht erklärt, wenn nicht, dann einfach nochmal nachfragen. ;-) |
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hi! danke für die Antwort! is schon mal um einiges klarer...
aber wieso kann man garantieren, dass das arithm. Mittel von zwei zahlen also z.B. zweier reller zahlen eine rationale zahl ist? muss im Zähler nicht immer ne ganze zahl stehen?
lg |
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. deswegen hatt' ich ja mal 2 Zahlenbeispiele reingebracht, einmal mit 2 rationalen Zahlen und einmal mit einer reellen und rationalen. Hier kann man dann mit einer Abschätzung arbeiten. Du wirst immer zwischen 2 reellen Zahlen eine rationale reinstopfen können. Es dürfte keine 2 rellen Zahlen geben, woe keine rationale Zahl reinpasst, es sei denn, die Lücke wäre unendlich klein, und somit wäre wohl . ;-) |
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ahh.... ich habe auch gerade einen Satz in meienr VO Mitschrift entdeckt der genau das besagt, dass eben zw. zwei rellen Zahlen mind. eine rationale Zahl ist :)
danke!
lg |
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. jau, ist das nicht erstaunlich, dass es trotzdem unendlich viel mehr reelle Zahlen denn rationale Zahlen gibt? Immerhin ist die Menge der reellen Zahlen überabzählbar. ;-) |
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