Stetigkeit

Eine Funktion ${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ ist stetig an der Stelle ${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0}$ wenn gilt:

${\displaystyle \underset{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\to {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0^{-}}{lim}\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\underset{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\to {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0^{+}}{lim}\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left({\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0\right)}$

Wenn also der linksseitige Grenzwert der Funktion (an der Stelle ${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0}$) gleich dem rechtsseitigen Grenzwert der Funktion (an der Stelle ${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0}$) gleich dem Funktionswert ist (an der Stelle ${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0}$).

Eine Funktion heißt stetig in ${\displaystyle {\mathrm{D<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$, wenn sie an jeder Stelle ihres Definitionsbereiches stetig ist.
(Dies kann genauso für jedes andere Intervall angegeben werden).


Anschaulich bedeutet die Stetigkeit, dass der Graph von ${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ keinen Sprung macht.
(Der Graph lässt sich zeichnen ohne den Stift abzusetzen).

Beispiel: Graphen einer Funktion die nicht stetig ist




Vorgehensweise:

Grundsätzlich sind Funktionen stetig. Daher muss man danach Ausschau halten, wo Funktionen nicht stetig sein könnten.



Beispiel Sprung:



${\displaystyle \underset{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\to 2^{-}}{lim}\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\underset{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\to 2^{-}}{lim}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1)=3}$
${\displaystyle \underset{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\to 2^{+}}{lim}\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\underset{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\to 2^{+}}{lim}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+3)=5}$

=> Die Funktion ist an der Stelle x = 2 nicht stetig.
=> Somit ist die Funktion in ihrem Definitionsbereich [mehr dazu] ( ${\displaystyle {\mathrm{D<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=ℝ}$ ) nicht stetig.