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Additionstheorem in Integral

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Integration

Tags: Integration

Simon123 aktiv_icon

19:38 Uhr, 17.07.2016

Hallo Leute,

ich habe hier eine Lösung zu einer Aufgabe bei der ein Additionstheorem verwendet wurde.
Kann mir jemand sagen welche Theorem benutzt wurde und wie dieses umgeformt wurde?
(Ich habe es Gelb Markiert)

Vielen Dank und MFG

SImon

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

abakus

19:59 Uhr, 17.07.2016

"welche Theorem benutzt wurde"
Na, es wurde genau das von dir gelb markierte Theorem benutzt.
Die Herleitung dafür funktioniert über komplexe Zahlen durch Koeffizientenvergleich (Realteil von

z^{4}

in arithmetischer bzw. trigonometrischer Form) oder - falls du damit nicht vertraut bist, über

c o s (4 φ) = c o s (2 \cdot 2 φ)

unter Anwendung der bekannten Doppelwinkelformeln, wobei beim eventuellen Auftreten von sin²x jeweils zu (1-cos²x) umgeformt wird.

In der Anwendung wurden beide Seiten der gelben Formel minus 1 gerechnet und dann durch -8 geteilt.

anonymous

22:01 Uhr, 17.07.2016

Hallo
Additionstherorem entweder in guten Formelsammlungen, zB. unter
de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Trigonometrie#Additionstheoreme
dort unter "Winkelfunktionen für weitere Vielfache", Formel

[12]

.

Oder, um es einfach zu halten, gestattet mir meinen Erklärungsversuch, und möglichst in überschaubaren Schrittchen:
I

= \int {cos}^{4} (t) \cdot d t = \int {cos}^{3} (t) \cdot cos (t) \cdot d t

Produktintegration:

u = {cos}^{3} (t); u' = - 3 \cdot {cos}^{2} (t) \cdot sin (t)

v = sin (t); v' = cos (t)

{cos}^{3} (t) \cdot sin (t) + 3 \cdot \int {cos}^{2} (t) \cdot sin (t) \cdot sin (t) \cdot d t

{cos}^{3} (t) \cdot sin (t) + 3 \cdot \int {cos}^{2} (t) \cdot {sin}^{2} (t) \cdot d t

{cos}^{3} (t) \cdot sin (t) + 3 \cdot \int {cos}^{2} (t) \cdot (1 - {cos}^{2} (t)) \cdot d t

{cos}^{3} (t) \cdot sin (t) + 3 \cdot \int {cos}^{2} (t) \cdot d t - 3 \cdot \int {cos}^{4} (t) \cdot d t

Jetzt dürfte/sollte auffallen, dass das letztgenannte Integral gerade der ursprünglichen Aufgabe entspricht, siehe allererste Gleichung...
I=

{cos}^{3} (t) \cdot sin (t) + 3 \cdot \int {cos}^{2} (t) \cdot d t - 3 \cdot I

4 \cdot I = {cos}^{3} (t) \cdot sin (t) + 3 \cdot \int {cos}^{2} (t) \cdot d t

\frac{1}{4} \cdot [{cos}^{3} (t) \cdot sin (t) + 3 \cdot \int {cos}^{2} (t) \cdot d t]

Und das letzte noch offene Integral ist ein Standard-Integral, wie es zB. in jeder Integraltabelle steht, oder eben nochmals Produktintegration:
I=

\frac{1}{4} \cdot [{cos}^{3} (t) \cdot sin (t) + 3 \cdot \int {cos}^{2} (t) \cdot d t]

\frac{1}{4} \cdot [{cos}^{3} (t) \cdot sin (t) + 3 \cdot \frac{t + sin (t) \cdot cos (t)}{2}]

Simon123 aktiv_icon

22:07 Uhr, 17.07.2016

Vielen Dank für eure Antworten.
Hätte das Theorem ohne dich wahrscheinlich nie gefunden cositan vielen Dank dafür :-)

Ich kann deine Berechnungen zwar nachvollziehen aber selbst darauf kommen .. naja^^

grüße

1317350

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