Flächenberechnung durch Integrieren

Geometrische Interpretation des bestimmten Integrals:

Liegt der Graph der Funktion ${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ zwischen a und ${\displaystyle \mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ oberhalb der x-Achse, dann ist die Zahl ${\displaystyle \mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}={\int }_{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>} }$ die Maßzahl des Flächeninhalts der Fläche zwischen dem Graphen, der x-Achse und den beiden Senkrechten an den Stellen a und ${\displaystyle \mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}.}$






Liegt das der Graph der Funktion zwischen a und ${\displaystyle \mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ hingegen unterhalb der x-Achse, so ist der Wert des bestimmten Integrals negativ.

In diesem Fall gilt:

${\displaystyle \mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=-{\int }_{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>} }$ die Maßzahl des Flächeninhalts der Fläche zwischen dem Graphen, der x-Achse und den beiden Senkrechten an den Stellen a und ${\displaystyle \mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}.}$






Merke also:

Hat die Funktion im Intervall, in dem die Fläche bestimmt werden soll, Nullstellen [mehr dazu], so muss das Integral zur Flächenberechnung bei jeder Nullstelle aufgespalten werden, bei der die Funktion die x-Achse schneidet.

${\displaystyle \mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\left|{\int }_{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{c<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right|+\left|{\int }_{\mathrm{c<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right|}$




Beispiel:

${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)={\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^3}$

Der Graph der Funktion schneidet die x-Achse im Ursprung.

Die Fläche A zwischen dem Graphen der Funktion ${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)={\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^3}$ und der x-Achse von ${\displaystyle -1}$ bis 2 ist gegeben durch:

${\displaystyle \mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\left|{\int }_{-1}^0{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^3\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right|+\left|{\int }_0^2{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^3\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right|}$