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Integrieren mit Substitution

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Wie integriert man mithilfe der Substitution?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Die Regel der Substitution bei Integralen ist die Umkehrung zur Kettenregel beim Ableiten.

Man wendet $i . d . R$ also eine Substitution nur dann an wenn der Integrand aus einer Verkettung von Funktionen besteht.

Ziel der Substitution ist es den Integranden so umzuformen, dass es leicht wird, zu der Funktion eine Stammfunktion zu bestimmen bzw. ein Integrieren (Aufleiten) dadurch möglich wird.

Die Regel lautet:

Bestimmtes Integral

$\int_{a}^{b} f (g (x)) \cdot g' (x) d x = \int_{g (a)}^{g (b)} f (t) d t = F (g (b)) - F (g (a))$

Unbestimmtes Integral

$\int f (g (x)) \cdot g' (x) d x = \int f (t) d t = F (t) + C = F (g (x)) + C$

Erklärung:

Besteht der Integrand aus einem Produkt einer verketteten Funktionen $f (g (x))$ und der Ableitung $g' (x)$ der inneren Funktion $g (x),$ dann kann die Regel der Substitution angewendet werden.

Man substituiert dann: $t = g (x)$

Die Integrationsgrenzen bei einem bestimmten Integral werden somit:

$g (a)$ anstatt a

und

$g (b)$ anstatt $b$

Aus der Ableitung von $t,$ folgt:

$d t = g' (x) d x$

Durch das Ersetzten von $g (x)$ und $g' (x) d t$ ensteht :

$\int f (t) d t$ (unbestimmte Integral)

$\int_{g (a)}^{g (b)} f (t) d t$ (bestimmte Integral)

Ist $F (t)$ eine Stammfunktion von $f (t),$ dann wird resubstituiert und für $t$ wird $g (x)$ in die Stammfunktion eingesetzt.

$\Rightarrow \int f (t) d t = F (t) + C = F (g (x)) + C$

Bei einem bestimmten Integral ist die Resubstitution nicht notwendig:

$\Rightarrow \int_{g (a)}^{g (b)} f (t) d t = F (g (b))$ – $F (g (a))$

Vorgehensweise:

1) Prüfen ob die Ableitung der inneren Funktion im Integranden vorkommt.

Wenn die innere Ableitung um einen Faktor a nicht vorkommt, dann ergänzt man das Intragral um diesen
Faktor $a,$ einmal im Integranden und einmal außerhalb des Integrals als Umkehrfaktor $\frac{1}{a}$

$\int f (x) d x = \frac{1}{a} \cdot \int a \cdot f (x) d x$

2) Substitution

$I . d . R$ wird die innere Funktion $g (x)$ mit $t$ substituiert.

$g' (x) d x$ wird mit $d t$ substituiert.

Bei einem bestimmten Integral müssen die Integrationsgrenzen angepasst werden.

3) Stammfunktion bestimmen

4) Resubstitution bei unbestimmten Integralen

Beispiel: (unbestimmtes Integral)

Gegeben die die Funktion $f$ mit $f (x) = 2 e^{2 x + 1}$ .
Bestimme die Menge aller Stammfunktionen zur Funktion $f$ .

Gesucht ist sommit $\int f (x) d x$

1) Prüfen ob die Ableitung der inneren Funktion im Integranden vorkommt.

Hier ist $g (x) = 2 x + 1$ die innere Funktion.
Die Ableitung der inneren Funktion ist: $g' (x) = 2$
Diese kommt also im Integranden vor, eine Substitution ist also möglich.

2) Substitution

$t = g (x) = 2 x + 1$

Ableitung von $t$ nach $x :$
$t' (x) = \frac{d t}{d x} = 2 \Rightarrow d t = 2 d x$

Einsetzten von $t$ und $d t :$
$\Rightarrow \int f (x) d x = \int e^{t} d t$

3) Stammfunktion bestimmen

$F (t) = \int e^{t} d t = e^{t} + C (C$ ist eine Konstante)

4) Resubstitution

$t = 2 x + 1$ in die Stammfunktion einsetzten:
$\Rightarrow F (2 x + 1) = e^{2 x + 1} + C$

Beispiel: (bestimmtes Integral)

Gegeben die die Funktion $f$ mit $f (x) = 2 x \cdot e^{x^{2} + 1}$ .
Bestimme das bestimmte Integral $\int_{0}^{1} f (x) d x$

1) Prüfen ob die Ableitung der inneren Funktion im Integranden vorkommt.

Hier ist $g (x) = x^{2} + 1$ die innere Funktion.
Die Ableitung der inneren Funktion ist: $g' (x) = 2 x$
Diese kommt also im Integranden vor, eine Substitution ist also möglich.

2) Substitution

$t = g (x) = x^{2} + 1$

Ableitung von $t$ nach $x :$
$t' (x) = \frac{d t}{d x} = 2 x \Rightarrow d t = 2 x d x$

Anpassen der Integrazionsgrenzen:
$g (0) = 0^{2} + 1 = 1$
$g (1) = 1^{2} + 1 = 2$

Einsetzten von $t$ und $d t :$
$\Rightarrow \int_{0}^{1} f (x) d x = \int_{1}^{2} e^{t} d t$

3) Bestimmtes Integral berechnen

$\int_{0}^{1} f (x) d x = \int_{1}^{2} e^{t} d t = {[e^{t}]}_{1}^{2} = (e^{2}$ – $e^{1})$

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