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Stammfunktion einer Logarithmusfunktion

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Wie bestimmt man eine Stammfunktion einer Logarithmusfunktion?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Logarithmusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
ln-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Flächenberechnung durch Integrieren

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Stammfunktion
ln-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Die Stammfunktion der natürlichen Logarithmusfunktion (ln-Funktion) mit

f (x) = ln x

lautet:

\int ln x d x = x \cdot ln x - x + C

wobei

C \in ℝ

Dies lässt sich durch Ableiten dieser Stammfunktion zeigen.

Ist die Logarithmusfunktion jedoch in einer etwas modifizierten Form, werden häufig die Logarithmenregeln benötigt.

Die Stammfunktionen zu modifizierten Logarithmusfunktionen lassen sich meist über Integration mit Substitution

[

LINK] oder Partielle Integration [LINK] ermitteln.

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion

f

mit

f (x) = ln (x^{2})

.
Bestimme die Menge aller Stammfunktionen zur Funktion

f

.

Mit der 3. Logarithmenrechenregel gilt:

f (x) = ln (x^{2})

= 2 \cdot ln (x)

Damit lässt sich die Stammfunktion bestimmen:

\int ln (x^{2}) d x

= \int 2 \cdot ln x d x

= 2 \cdot \int ln x d x

= 2 \cdot (x \cdot ln x

–

x) + C

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