Logarithmusfunktion

Die Funktionsgleichung einer Logarithmusfunktion hat folgende Form:



Dabei ist:

${\displaystyle \mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\in {ℝ}^{+}\backslash \left\{1\right\} ,}$ die Basis, eine positive reelle Zahl außer die Eins.

${\displaystyle \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\in ℝ ,}$ die Variable der Funktion.



Beispiele für Logarithmusfunktionen:

1) ${\displaystyle \mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=2, \Rightarrow \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)={log}_2\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>} }$

2) ${\displaystyle \mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=10, \Rightarrow \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)={log}_{10}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>} }$

3) ${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=ln\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>} ,}$ die ln-Funktion [mehr dazu] (die natürliche Logarithmusfunktion zur Basis ${\displaystyle \mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}$



Wichtige Eigenschaften der Logarithmusfunktion:



Definitionsbereich [mehr dazu]: ${\displaystyle \mathrm{D<mspace\; width="0.12em"></mspace>}={ℝ}^{+}}$

Wertebereich: ${\displaystyle \mathrm{W<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=ℝ}$

Nullstellen [mehr dazu]: ${\displaystyle \mathrm{N<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(1|0\right)}$

Gemeinsamer Punkt: ${\displaystyle }$ Der Graph jeder Logarithmusfunktion geht durch den Punkt ${\displaystyle \left(1|0\right)}$

Monotonie: ${\displaystyle }$ streng monoton steigend für ${\displaystyle \mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}>1}$ und streng monoton fallend für ${\displaystyle 0<\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}<1}$

Die Logarithmusfunktion ${\displaystyle {log}_{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion [mehr dazu] ${\displaystyle {\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$