Exponentialfunktion

Die Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion hat folgende Form:



Dabei ist:

${\displaystyle \mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\in {ℝ}^{+}\backslash \left\{1\right\} ,}$ die Basis, eine positive reelle Zahl außer die Eins.

${\displaystyle \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\in ℝ ,}$ der Exponent und die Variable der Funktion.


Die Exponentialfunktion beschreibt für ${\displaystyle \mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}>1}$ einen Wachstumsprozess ${\displaystyle (\mathrm{z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}.\mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$. Verdopplung) und für ${\displaystyle 0<\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}<1}$ einen Zerfallsprozess ${\displaystyle (\mathrm{z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}.\mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$. Halbierung)

(mehr zum Thema Wachstum und Zerfall findest du hier)



Beispiele für Exponentialfunktionen:

1) ${\displaystyle \mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=2, \Rightarrow \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=2^{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}} }$

2) ${\displaystyle \mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=3, \Rightarrow \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=3^{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}} }$

3) ${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)={\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}} ,}$ die e-Funktion [mehr dazu] ${\displaystyle (\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ ist die Eulersche Zahl)



Wichtige Eigenschaften von Exponentialfunktionen:



Definitionsbereich [mehr dazu]: ${\displaystyle \mathrm{D<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=ℝ}$

Wertebereich: ${\displaystyle \mathrm{W<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=]0;\infty [}$

Nullstellen [mehr dazu]: ${\displaystyle }$ Keine, der Graph der Funktion kommt der x-Achse für sehr kleine x-Werte immer näher, berührt sie aber nicht.

Asymptote [mehr dazu]: ${\displaystyle \mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=0 }$ (also die x-Achse)

Gemeinsamer Punkt: ${\displaystyle }$ Der Graph jeder Exponentialfunktion geht durch den Punkt ${\displaystyle \left(0|1\right),}$ da ${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(0\right)={\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^0=1}$

Monotonie: ${\displaystyle }$ streng monoton steigend für ${\displaystyle \mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}>1}$ (für größer werdende x-Werte nehmen die y-Werte stets zu) und streng monoton fallend für ${\displaystyle 0<\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}<1}$ (für größer werdende x-Werte nehmen die y-Werte stets ab)

Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ist die Logarithmusfunktion [mehr dazu].