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Funktionsgleichung der Exponentialfunktion

Schüler Gymnasium, 10. Klassenstufe

Wie stellt man die Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion auf?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
e-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Potenzfunktionen (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableitungsregeln für Polynomfunktionen
Einführung Funktionen
Hyperbeln
Potenzfunktionen - Definitionsbereich
Potenzfunktionen - Einführung
Potenzfunktionen - Fortgeschritten

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n = 2

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Gegeben:

y_{0}

(Anfangswert), a (Wachstumsfaktor)
Gesucht:

y

(Funktionsgleichung)

1. Beispiel

Gegeben: Eine $1,2 m$ lange Alge vergrößert täglich ihre Länge um

30 %

Anfangslänge der Alge:

1,2 m \Rightarrow y_{0} = 1,2

Alge vergrößert sich täglich um

30 %, d . h

. wenn die Alge

1 m

lang wäre, dann würde sie am nächsten Tag um

0,3 m (30 %

von

1 m)

wachsen und insgesamt eine Länge von

1,3 m

haben.

\Rightarrow

Wachstumsfaktor

a = 1,3

Die Funktionsgleichung kann jetzt aufgestellt werden. Die obigen Werte müssen nur in die allgemeine Form einer Exponentialgleichung eingesetzte werden:

y = y_{0} \cdot a^{x}

\Rightarrow y = 1,2 \cdot {1,3}^{x}

x

ist die Zeiteinheit, hier in Tagen ausgedrückt. Möchte man nun wissen wie groß die Alge nach 5 Tagen ist, setzte man

x = 5

in die Gleichung ein:

y = 1,2 \cdot {1,3}^{5} \approx 4,45 m

2. Beispiel

Gegeben: Ein Auto zum Neupreis von $18.000$ € verliert jedes Jahr $15 %$ seines letztjährigen Wertes. Gib eine Funktion an, die den Abnahmevorgang des Wertes beschreibt.

Neupreis bzw. Anfangswert des Autos:

18.000

€

\Rightarrow y_{0} = 18.000

Der Preis des Autos verkleinert sich jährlich um

15 %, d . h

. wenn das Auto am Anfang 1 € kosten würde, dann würde es nach einem Jahr

0,15 (15 %

von

1)

€ an Wert verlieren und

0,85

€ kosten.

\Rightarrow

Wachstumsfaktor

a = 0,85

Die Funktionsgleichung kann jetzt aufgestellt werden. Die obigen Werte müssen nur in die allgemeine Form einer Exponentialgleichung eingesetzte werden:

y = y_{0} \cdot a^{x}

\Rightarrow y = 18.000 \cdot {0,85}^{x}

x

ist die Zeiteinheit, hier in Jahren ausgedrückt. Möchte man nun wissen wie hoch der Wert des Autos nach 3 Jahren ist, setzte man

x = 3

in die Gleichung ein:

y = 18.000 \cdot {0,85}^{3} = 11 . 054,25

€

Da a kleiner ist als 1 beschreibt die Funktion einen Abnahmeprozess.

3. Beispiel

Gegeben: An einem heißen Sommertag gießt sich Tobias ein Glas Saft ein. Der Saft kommt aus dem Kühlschrank, er hat eine Temperatur von 10°C. Die Raumtemperatur beträgt 25°C.

$a)$ Der Unterschied $T$ zwischen Safttemperatur und Umgebungstemperatur nimmt pro Minute um $\frac{1}{3}$ ab. Zu Beginn ist $T_{0} =$ 15°C. Stelle die Funktionsgleichung $T (x)$ auf $(x :$ Zahl der Minuten).

$b)$ Wie groß ist die Safttemperatur $S (x)$ in Abhängigkeit von der Zeit? Überlege Dir hierzu, wie $S (x)$ mit $T (x)$ zusammenhängt.

a)

Anfangstemperatur

T_{0} =

15°C

nach einer Minute:

T =

15°C

\cdot \frac{1}{3} =

5°C

nach zwei Minuten:

T =

5°C

\cdot \frac{1}{3} =

15°

\cdot {(\frac{1}{3})}^{2}

nach drei Minuten:

T =

15°

\cdot {(\frac{1}{3})}^{3}

Allgemein:

Nach

x

Minuten:

T =

15°C

\cdot {(\frac{1}{3})}^{x}

Also

T = T_{0} \cdot {(\frac{1}{3})}^{x}

b)

Die Umgebungstemperatur bleibt immer gleich, wir nennen sie mal U.

U

beträgt 25°

Der Temperaturunterschied

T (x)

ist definiert als die Differenz zwischen Umgebungstemperatur und Safttemperatur

S (x)

Also:

T (x) = U - S (x)

S (x) = U - T (x)

S (x) =

25°C - 15°C

\cdot {(\frac{1}{3})}^{x}

Gegeben: Zwei Bedingungen an einer Funktion
Gesucht: Funktionsgleichung

Beispiel:

Gegeben: Der Graph der Funktion $f$ mit $y = a x + b (D = ℝ)$ geht durch die Punkte $P (0; 4)$ und $Q (2; 28)$ . Wie lautet die Funktion ? Wie komme ich da auf die Lösung ?

1. Bedingung: der Graph der Funktion geht durch den Punkt

P

Einsetzen der Koordinaten vom Punkt

P

gibt:

4 = a^{0} + b

\Rightarrow 4 = 1 + b

\Rightarrow b = 3

2. Bedingung: der Graph der Funktion geht durch den Punkt

Q

Einsetzen der Koordinaten von Punkt

Q

und des Wertes

b = 3

gibt:

28 = a^{2} + 3

\Rightarrow a^{2} = 25

\Rightarrow a = 5

Die Parameterwerte a und

b

sind nun bestimmt.
Durch einsetzen von a un

b

in die Funktionsgleichung bekommt man die gesuchte Funktion:

\Rightarrow y = 5^{x} + 3

524792

524790

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