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Zu einer Parabel die Funktionsgleichung bestimmen

Schüler Gymnasium, 9. Klassenstufe

Wie bestimmt man zu einer gegebenen Parabel die Funktionsgleichung?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Quadratische Funktionen (Mathematischer Grundbegriff)
Parabel (Mathematischer Grundbegriff)
Quadratische Ergänzung
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Aus Funktionsgleichung Skizze erkennen
Aus Skizze Funktionsgleichung ablesen
Einführung Funktionen
Hyperbeln

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Beispiel 1)

Gesucht ist die Funktionsgleichung zu folgender Normalparabel:

Beispiel_1_2

Die Scheitelpunktform (kurz Scheitelform) einer Parabel lautet:

y = a \cdot {(x + d)}^{2} + e

Der Scheitel einer Parabel hat die Koordinaten:

S (- d | e)

Im Bild kann der Scheitelpunkt der Parabel abgelesen werden. Seine Koordinaten sind:

S (1 | 2)

Also gilt:

1 = - d \Rightarrow d = - 1

2 = e

Die Parabel ist nach oben geöffnet und in der Aufgabenstellung steht der Hinweis, dass es sich um eine Normalparabel handelt. Für den Parameter a gilt also:

a = + 1

Einsetzen der Parameterwerte

a, d

und

e

in die Scheitelpunktform ergibt folgende Funktionsgleichung:

y = {(x - 1)}^{2} + 2

Beispiel 2)

Gesucht ist die Funktionsgleichung zu folgender Parabel:

Beispiel_2

Die Scheitelpunktform (kurz Scheitelform) einer Parabel lautet:

y = a \cdot {(x + d)}^{2} + e

Der Scheitel einer Parabel hat die Koordinaten:

S (- d | e)

Im Bild kann der Scheitelpunkt der Parabel abgelesen werden. Seine Koordinaten sind:

S (2 | 4)

Also gilt:

2 = - d \Rightarrow d = - 2

4 = e

Die Funktionsgleichung lautet bis hier her also:

y = a \cdot {(x - 2)}^{2} + 4

Ein weiterer Punkt kann im Bild abgelesen werden. Die Parabel schneidet die y-Achse im Punkt

(0 | - 4)

.

Einsetzen der Koordinaten des Punktes in die Funktionsgleichung (für

x

schreibt man 0 und für

y

schreibt man

- 4)

ergibt:

- 4 = a \cdot {(0 - 2)}^{2} + 4

Auflösen der Gleichung nach

a :

- 4 = a \cdot {(- 2)}^{2} + 4

- 4 = a \cdot 4 + 4

- 8 = a \cdot 4

- 2 = a

Dass a negativ ist, hätte man schon vorher sagen können, da die Parabel nach unten geöffnet ist.

Einsetzen der Parameterwerte

a, d

und

e

in die Scheitelpunktform ergibt folgende Funktionsgleichung:

y = - 2 {(x - 2)}^{2} + 4

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