Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Wie löst man eine quadratische Gleichung?

Wie löst man eine quadratische Gleichung?

Schüler Gymnasium, 10. Klassenstufe

Wie löst man eine quadratische Gleichung?

Wie bestimmt man die Nullstellen einer quadratischen Funktion?
Wo schneidet eine Parabel die x-Achse?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Quadratische Funktionen (Mathematischer Grundbegriff)
Quadratische Ergänzung
Mitternachtsformel
Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff)
Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff)
Faktorisieren (Linearfaktorzerlegung)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten
Allgemeine Sinusfunktion
Aus Funktionsgleichung Skizze erkennen
Aus Skizze Funktionsgleichung ablesen
Gemischte Aufgaben
Lösen durch Faktorisieren (Ausklammern)
Lösen durch Umstellen
Lösen mit der Lösungsformel (Mitternachtsformel)
Lösen mit der Lösungsformel (pq-Formel)
Nullstellen
Nullstellen bestimmen

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Beispiele zur quadratischen Ergänzung

Wie findet man die quadratische Ergänzung?

Die Parameter der Scheitelpunktform einer Parabel

Für was stehen die Parameter der Scheitelpunktform einer Parabel?

Funktionsgleichung einer Parabel bestimmen

Wie bestimmt man die Funktionsgleichung einer Parabel?

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 3. Grades

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 3. Grades durch?

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades durch?

Nullstellen einer Potenzfunktion bestimmen

Wie bestimmt man die Nullstellen einer Potenzfunktion?

Nullstellen einer Potenzfunktion bestimmen

Wie bestimmt man die Nullstellen einer Potenzfunktion wenn der Exponent

n = 2

oder

n = - 2

ist?

Nullstellen einer allg. Sinusfunktion bestimmen

Wie bestimmt man die Nullstellen einer allgemeinen Sinusfunktion?

Wie bestimmt man die Schnittpunkte einer allgemeinen Sinusfunktion mit der x-Achse?

Nullstellen von Polynomfunktionen

Wie bestimmt man die Nullstellen von Polynomfunktionen?

Polynomdivision

Wie funktioniert eine Polynomdivison?

Wie faktorisiere ich einen Term höheren Grades?

Quadratische Ergänzung bestimmen

Gibt es einen schnellen Weg die quadratische Ergänzung zu bestimmen?

Verschiebung einer Normalparabel

Was passiert wenn man eine Normalparabel in

x

oder y-Richtung verschiebt?

Was passiert mit dem Schaubild einer Normalparabel wenn man die Funktionsgleichung verändert?

Zu einer Parabel die Funktionsgleichung bestimmen

Wie bestimmt man zu einer gegebenen Parabel die Funktionsgleichung?

Allgemeines Verfahren (klappt immer)

Beispiel:

2 x^{2} = 12 - 2 x

Erster Schritt: Alles auf eine Seite bringen

2 x^{2} + 2 x - 12 = 0

Zweiter Schritt: Anwenden der Lösungsformel

Allgemein erhält man die Lösungen einer Gleichung Typs

0 = a x^{2} + b x + c

mit:

x_{1,2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 \cdot a \cdot c}}{2 a}

In diesem Beispiel also:

x_{1,2} = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 2} = \frac{- 2 \pm \sqrt{100}}{4} = \frac{- 2 \pm 10}{4}

Somit ist

x_{1} = 2

und

x_{2} = - 3

L = {- 3; 2}

(Lösungsmenge)

Sonderfälle ( $\in$ denen es noch einfacher klappt)

Lösen durch Faktorisieren
Ist die Gleichung unseres Beispiels faktorisiert gegeben, so kann man die Lösungen direkt ablesen:

2 \cdot (x - 2) \cdot (x + 3) = 0

(Wann ist der linke Teil der Gleichung - ein Produkt - gleich null?)

Ein Produkt ist genau dann null, wenn mindestens einer der Faktoren null ist.

Betrachten wir die Faktoren:
2 wird nie null

(x - 2)

wird null, wenn

x = 2

(x + 3)

wird null, wenn

x = - 3

Somit erhalten wir auch

L = {- 3; 2}

In der Lösungformel sind $b$ oder $c$ null

Wenn

b = 0

ist, dann kann man die Gleichung direkt auflösen:

a \cdot x^{2} + c = 0

x^{2} = - \frac{c}{a}

x = \pm \sqrt{- \frac{c}{a}}

(hier gibt es nur eine Lösung, wenn

c

und a unterschiedliches Vorzeichen haben oder

c = 0

ist)

Wenn

c = 0

ist, dann kann man die Gleichung direkt auflösen:

a \cdot x^{2} + b x = 0

x \cdot (a x + b) = 0 \Rightarrow x_{1} = 0

a x + b = 0

x_{2} = - \frac{b}{a}

535827

534288

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?