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Die Parameter der Scheitelpunktform einer Parabel

Schüler Gymnasium, 9. Klassenstufe

Für was stehen die Parameter der Scheitelpunktform einer Parabel?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Quadratische Funktionen (Mathematischer Grundbegriff)
Parabel (Mathematischer Grundbegriff)
Quadratische Ergänzung

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Aus Funktionsgleichung Skizze erkennen
Aus Skizze Funktionsgleichung ablesen
Scheitelpunkt bestimmen (ohne quadratische Ergänzung)
Schnittpunkt mit der y-Achse bestimmen
Schnittpunkte zweier Parabeln bestimmen
Schnittpunkte zwischen Parabel und Gerade bestimmen

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Der Stauchungs- und Streckungsfaktor a

Die Scheitelpunktform (kurz Scheitelform) einer Parabel lautet:

y = a \cdot {(x + d)}^{2} + e

Was sagt der Parameter aus?

An dem Parameter a kann man ablesen:

1) ob die Parabel nach oben oder nach unten geöffnet ist und dementsprechend ob sie einen Tiefpunkt oder einen Hochpunkt besitzt.

2) ob die Parabel gestreckt oder gestaucht ist, also ob sie schmal oder breit ist.

Was sagt der Wert aus?

Zu Punkt 1): Das Vorzeichen des Parameters ist entscheidend.

Ist a postiv, also $a > 0,$ dann ist die Parabel nach oben geöffnet und sie besitzt einen Tiefpunkt (der Scheitelpunkt).

Ist a negativ, also $a < 0,$ dann ist die Parabel nach unten geöffnet und sie besitzt einen Hochpunkt (der Scheitelpunkt).

Zu Punkt 2): Wie groß ist a?

$a > 1 :$ die Parabel ist gestreckt, also schmäler als die Normalparabel $y = {(x + d)}^{2} + e$
Beispiel $: y = 2 {(x + 1)}^{2} - 2$ ist schmäler als $y = {(x + 1)}^{2} - 2$

$a = 1 :$ die Parabel ist einer Normalparabel.

a ist größer Null und kleiner $1 (z . B$ . $a = 0,5) :$ die Parabel ist gestaucht, also breiter als die Normalparabel $y = {(x + d)}^{2} + e$
Beispiel $: y = 0,5 {(x + 1)}^{2} - 2$ ist breiter als $y = {(x + 1)}^{2} - 2$

Ist a negativ, dann gelten die selben Bedingungen wie oben.

Selber probieren: Im unterstehenden Applet kann man testen welche Wirkung der Parameter hat auf das Schaubild der Parabel.

Das ist eine digitale Zeichnung.
Verwende den Schubregler um verschiedene Werte zu setzen.

Die horinzontale Verschiebung

Die Scheitelpunktform (kurz Scheitelform) einer Parabel lautet:

y = a \cdot {(x + d)}^{2} + e

Was sagt der Parameter $d$ aus?

Der Parameter

d

sagt aus um wie viele Einheiten die Parabel verschoben ist entlang der x-Achse im Gegesatz zur Normalparabel.

Nach links oder nach rechts?

Ist $d$ postiv, dann ist die Parabel nach links verschoben.

Beispiele

y = {(x + 2)}^{2}

(d = 2)

y = x^{2}

Ist $d$ negativ, dann ist die Parabel nach rechts verschoben.

Beispiele:

y = {(x - 2)}^{2}

liegt um zwei Einheit

(d = - 2)

rechts von

y = x^{2}

Die vertikale Verschiebung

Die Scheitelpunktform (kurz Scheitelform) einer Parabel lautet:

y = a \cdot {(x + d)}^{2} + e

Was sagt der Parameter $e$ aus?

Der Parameter

e

sagt aus um wie viele Einheiten die Parabel verschoben ist entlang der y-Achse im Gegesatz zur Normalparabel.

Nach oben oder nach unten?

Ist $e$ postiv, dann ist die Parabel nach oben verschoben.

Beispiele

y = x^{2} + 2

(e = 2)

y = x^{2}

Ist $e$ negativ, dann ist die Parabel nach unten verschoben.

Beispiele:

y = x^{2} - 2

liegt zweit Einheiten

(e = - 2)

unterhalb von

y = x^{2}

Der Scheitelpunkt und die Parameter

d

und

e

Die Scheitelpunktform (kurz Scheitelform) einer Parabel lautet:

y = a \cdot {(x + d)}^{2} + e

Scheitelpunkt ablesen

An der Scheitelpunktform kann man direkt die Koordinaten des Scheitelpunktes ablesen:

S (- d | e)

Es ist also:

- d

die x-Koordinate des Scheitelpunktes

e

die y-Koordinate des Scheitelpunktes

Beispiel:

y = 5 {(x - 3)}^{2} + 2

d = - 3 \Rightarrow - d = 3

e = 2

\Rightarrow S (3 | 2)

Selber probieren: Im unterstehenden Applet kann man testen welche Wirkung die Parameter haben auf das Schaubild der Parabel und ihr Scheitel.

Das ist eine digitale Zeichnung.
Verwende den Schubregler um verschiedene Werte zu setzen.

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