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Schnitt Parabel - Parabel

Schüler Gymnasium, 9. Klassenstufe

Wie bestimmt man die Schnittpunkte zwischen zwei Parabeln?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Quadratische Funktionen (Mathematischer Grundbegriff)
Parabel (Mathematischer Grundbegriff)
Quadratische Ergänzung
Schnittpunkte bestimmen

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform)
Lineare Gleichungssysteme
Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Nullstellen

Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)
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Lineare Gleichungssysteme

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Beispiel

Gegeben:

Parabel

1 : y = x^{2}

Parabel

2 : y = x^{2} - 2 x + 1

Um die Schnittpunkte zwischen den beiden Parabeln zu bestimmen, müssen folgende Schritte durchgeführt werden:

1) Funktionen gleich setzen

x^{2} = x^{2} - 2 x + 1

2) Gleichung umformen

Alles was auf der rechten Seite steht bringt man auf die linke Seite rüber (man kann auch die linke Seite auf die rechte Seite bringen).

x^{2} = x^{2} - 2 x + 1 | - x^{2} + 2 x - 1

\Rightarrow x^{2} - x^{2} + 2 x - 1 = 0

\Rightarrow 2 x - 1 = 0

3) Gleichung nach $x$ auflösen

2 x - 1 = 0 | + 1

\Rightarrow 2 x = 1 | : 2

\Rightarrow x_{S} = \frac{1}{2}

Somit hat man die

x_{S}

-Koordinate des Schnittpunktes bestimmt.
(In diesem Beispiel schneiden sich die Parabeln in einem einzigen Punkt)

4) y-Koordinate bestimmen

Um die y-Koordinate des Schnittpunktes zu bestimmen, wird der gefundene x-Wert in einer der beiden Funktionen eingesetzt (entweder in Parabel 1 oder in Parabel

2)

x_{S} = \frac{1}{2}

eingesetzt in Parabel

1 : y_{S} = {(\frac{1}{2})}^{2} = \frac{1}{4}

Der Schnittpunkt hat also folgende Koordinaten:

S (\frac{1}{2} | \frac{1}{4})

Beispiel
Gegeben:

Parabel

1 : y = (x - 2) \cdot (x + 1)

Parabel

2 : y = {(x - 1)}^{2}

Um die Schnittpunkte zwischen den beiden Parabeln zu bestimmen, müssen folgende Schritte durchgeführt werden:

1) Funktionen gleich setzen

(x - 2) \cdot (x + 1) = {(x - 1)}^{2}

2) Gleichung umformen

Alles was auf der rechten Seite steht bringt man auf die linke Seite rüber (man kann auch die linke Seite auf die rechte Seite bringen).

In diesem Beispiel ist aber zuvor notwendig die Klammern aufzulösen.

(x - 2) \cdot (x + 1) = {(x - 1)}^{2}

\Leftrightarrow x^{2} + x - 2 x - 2 = x^{2} - 2 x + 1

\Leftrightarrow x^{2} - x - 2 = x^{2} - 2 x + 1 | - x^{2} + 2 x - 1

\Rightarrow x^{2} - x^{2} - x + 2 x - 2 - 1 = 0

\Rightarrow x - 3 = 0

3) Gleichung nach $x$ auflösen

x - 3 = 0 | + 3

\Rightarrow x_{S} = 3

Somit hat man die

x_{S}

2)

x_{S} = 3

eingesetzt in Parabel

2 : y_{S} = {(3 - 1)}^{2} = 4

Der Schnittpunkt hat also folgende Koordinaten:

S (3 | 4)

Beispiel

Gegeben:

Parabel

1 : y = 2 x^{2} + 2 x - 5

Parabel

2 : y = x^{2} - 6 x + 4

Um die Schnittpunkte zwischen den beiden Parabeln zu bestimmen, müssen folgende Schritte durchgeführt werden:

1) Funktionen gleich setzen

2 x^{2} + 2 x - 5 = x^{2} - 6 x + 4

2) Gleichung umformen

Alles was auf der rechten Seite steht bringt man auf die linke Seite rüber (man kann auch die linke Seite auf die rechte Seite bringen).

2 x^{2} + 2 x - 5 = x^{2} - 6 x + 4 | - x^{2} + 6 x - 4

\Rightarrow 2 x^{2} - x^{2} + 2 x + 6 x - 5 - 4 = 0

\Rightarrow x^{2} + 8 x - 9 = 0

3) Gleichung nach $x$ auflösen

Die quadratische Gleichung kann mit Hilfe der pq- Formel berechnet werden:

x_{1,2} = - \frac{8}{2} \pm \sqrt{{(\frac{8}{2})}^{2} + 9}

x_{1,2} = - 4 \pm \sqrt{25}

x_{1,2} = - 4 \pm 5

\Rightarrow x_{1} = 1

und

x_{2} = - 9

Somit hat man die x-Koordinate der Schnittpunkte bestimmt.
(In diesem Beispiel schneiden sich die Parabeln in zwei Punkte)

4) y-Koordinate bestimmen

Um die y-Koordinate der Schnittpunkte zu bestimmen, werden die gefundenen x-Werte in einer der beiden Funktionen eingesetzt (entweder in Parabel 1 oder in Parabel

2)

x_{1} = 1

eingesetzt in Parabel

1 : y_{1} = 2 \cdot 1^{2} + 2 \cdot 1 - 5 = - 1

x_{2} = - 9

eingesetzt in Parabel

1 : y_{2} = 2 \cdot {(- 9)}^{2} + 2 \cdot (- 9) - 5 = 139

Die Schnittpunkte haben also folgende Koordinaten:

S_{1} (1 | - 1)

und

S_{2} (- 9 | 139)

567654

567648

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