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Nullstellen einer Potenzfunktion bestimmen

Schüler Gymnasium, 10. Klassenstufe

Wie bestimmt man die Nullstellen einer Potenzfunktion wenn der Exponent $n = 2$ oder $n = - 2$ ist?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Potenzfunktionen (Mathematischer Grundbegriff)
Quadratische Funktionen (Mathematischer Grundbegriff)
Parabel (Mathematischer Grundbegriff)
Quadratische Ergänzung
Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff)
Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableitungsregeln für Polynomfunktionen
Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten
Allgemeine Sinusfunktion
Nullstellen
Nullstellen bestimmen
Polynomdivision
Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Nullstellen
Potenzfunktionen - Definitionsbereich

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f (x) = a {(x + b)}^{2} + c

Gesucht: Nullstellen der Funktion

Um die Nullstellen der Funktion zu finden, muss diese Gleichung gelöst werden:

a {(x + b)}^{2} + c = 0

Man geht hier immer nach dem selben Schema vor:

1.

c

auf die rechte Seite bringen
2.

beide Seiten durch a teilen
3.

Wurzel ziehen
4.

Fallunterscheidung

\pm

Nullstellen bestimmen (es gibt maximal 2 Nullstellen)

Beispiel:

f (x) = 3 {(x + 2)}^{2} - 1

3 {(x + 2)}^{2} - 1 = 0

ist zu lösen

1.

3 {(x + 2)}^{2} = 1

{(x + 2)}^{2} = \frac{1}{3}

3 . \sqrt{{(x + 2)}^{2}} = \sqrt{\frac{1}{3}}

Fallunterscheidung:

x + 2 = + \sqrt{\frac{1}{3}}

x + 2 = - \sqrt{\frac{1}{3}}

x + 2 = + \sqrt{\frac{1}{3}} \Rightarrow x_{1} = - 2 + \sqrt{\frac{1}{3}}

x + 2 = - \sqrt{\frac{1}{3}} \Rightarrow x_{2} = - 2 - \sqrt{\frac{1}{3}}

Gegeben: Potenzfunktion der Form

f (x) = \frac{a}{{(x + b)}^{2}} + c

Gesucht: Nullstellen der Funktion

Um die Nullstellen der Funktion zu finden, muss diese Gleichung gelöst werden:

\frac{a}{{(x + b)}^{2}} + c = 0

Auch hier geht man immer nach dem selben Schema vor, der Unterschied zu dem Schema oben ist, dass hier zu erst der quadratische Term nach oben gebracht werden muss.

Beispiel:

f (x) = \frac{4}{{(x - 3)}^{2}} - 5

\frac{4}{{(x - 3)}^{2}} - 5 = 0 | + 5

\frac{4}{{(x - 3)}^{2}} = 5 | \cdot {(x - 3)}^{2}

4 = 5 \cdot {(x - 3)}^{2} | \div 5

\frac{4}{5} = {(x - 3)}^{2} |

Wurzel ziehen

\pm \sqrt{\frac{4}{5}} = x - 3

\Rightarrow x_{1} = 3 + \sqrt{\frac{4}{5}}

und

x_{2} = 3 - \sqrt{\frac{4}{5}}

552268

552250

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