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Funktionsgleichung einer Potenzfunktion ermitteln

Schüler Gymnasium, 10. Klassenstufe

Wie ermittelt man zu gegebenen Eigenschaften einer Funktion die Funktionsgleichung?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Potenzfunktionen (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableitungsregeln für Polynomfunktionen
Einführung Funktionen
Hyperbeln
Potenzfunktionen - Definitionsbereich
Potenzfunktionen - Einführung
Potenzfunktionen - Fortgeschritten

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Gegeben: 2 Punkte und allgemeine Funktionsgleichung
Gesucht: Potenzfunktion die durch die 2 Punkte verläuft.

Beispiel:

Die Potenzfunktion $f (x) = a \cdot x^{2} + b \cdot x$ geht durch die Punkte $A (1 | 9)$ und $B (2 | 20)$ .
Bestimmen Sie die Unbekannten $a, b$ in der Potenzfunktion.

Lösung:

Koordinaten des Punktes $A$ in die Funktionsgleichung einsetzen:

$f (1) = a \cdot 1^{2} + b \cdot 1 = a + b = 9$

$\Rightarrow a^{⋆} = 9 - b$

Koordinaten des Punktes $B$ in die Funktionsgleichung einsetzen:

$f (2) = a \cdot 2^{2} + b \cdot 2 = 4 a + 2 b = 20$

Einsetzen von $a^{⋆}$ in die obige Gleichung:

$\Rightarrow 4 (9 - b) + 2 b = 20$
$\Rightarrow 36 - 4 b + 2 b = 20$
$\Rightarrow - 2 b = - 16$
$\Rightarrow b = 8$

Einsetzen von $b = 8 \in a^{⋆} :$

$\Rightarrow a = 9 - 8 = 1$

Die gesuchten Parameter sind:

$a = 1$ und $b = 8$

$\Rightarrow f (x) = x^{2} + 8 x$

Gegeben: 2 Punkte und allgemeine Funktionsgleichung
Gesucht: Potenzfunktion die durch die 2 Punkte verläuft.

Beispiel:

Das Schaubild einer Funktion $f (x) = a \cdot x^{r}$ geht durch die Punkte $P (2 | \frac{8}{3})$ und $Q (3 | 9)$ . Die Parameterwerte a und $r$ sind zu ermitteln.

Lösung:

Koordinaten des Punktes $P$ in die Funktionsgleichung einsetzen:

$f (2) = a \cdot 2^{r} = \frac{8}{3}$

$\Rightarrow 1$ . $a \cdot 2^{r} = \frac{8}{3}$

Koordinaten des Punktes $Q$ in die Funktionsgleichung einsetzen:

$f (3) = a \cdot 3^{r} = 9$

$\Rightarrow 2$ . $a \cdot 3^{r} = 9$

2. Gleichung durch 1. teilen ergibt:

$\frac{a \cdot 3^{r}}{a \cdot 2^{r}} = \frac{9}{\frac{8}{3}}$

$\Leftrightarrow \frac{3^{r}}{2^{r}} = \frac{27}{8}$

$\Leftrightarrow {(\frac{3}{2})}^{r} = \frac{27}{8}$

$\Rightarrow r = 3$ ist leicht zu erkennen.

Einsetzen von $r = 3 \in z . B$ . die erste Gleichung ergibt:

$a \cdot 2^{3} = \frac{8}{3}$

$\Rightarrow a = \frac{\frac{8}{3}}{2^{3}} = \frac{1}{3}$

Gegeben: ein Punkt
Gesucht: Potenzgleichung bzw. Potenz $n$

1. Beispiel:

Bestimmen sie $n$ so, dass der Graph der Potenzfunktion $f$ mit $f (x) = x^{n}$ durch den Punkt $P (1,2 | 1,728)$ verläuft.

Lösung

$P$ in die Funktionsgleichung einsetzen:

$1,728 = {1,2}^{n}$

Den Logarithmus auf beiden Seiten der Gleichung anwenden:

$ln (1,728) = ln ({1,2}^{n})$

Folgende Eigenschaft des Logarithmus anwenden: ${ln x}^{n} = n \cdot ln x$

$\Rightarrow ln (1,728) = n \cdot ln (1,2)$
$\Rightarrow n = \frac{ln (1,2)}{ln (1,728)} = 3$

2. Beispiel:

Bestimmen sie $n$ so, dass der Graph der Potenzfunktion $f$ mit $f (x) = x^{n}$ durch den Punkt $P (- \frac{2}{5} | \frac{16}{625})$ verläuft.

$P$ in die Funktionsgleichung einsetzen:

$\frac{16}{625} = {(- \frac{2}{5})}^{n}$

Logarithmieren ist hier nicht möglich, denn $- \frac{2}{5}$ ist eine negative Zahl.
Man behilft sich mit folgender Überlegung: $n$ muss gerade sein, denn sonst hätte $\frac{16}{625}$ kein positives Vorzeichen.

Wenn $n$ eine gerade Zahl ist, kann man das negative Vorzeichen von $\frac{2}{5}$ weg lassen:

$\frac{16}{625} = {(\frac{2}{5})}^{n}$

$\Rightarrow ln (\frac{16}{625}) = {ln (\frac{2}{5})}^{n}$

$\Rightarrow ln (\frac{16}{625}) = n \cdot ln (\frac{2}{5})$

$\Rightarrow n = \frac{ln (\frac{16}{625})}{ln (\frac{2}{5})} = 4$

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