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Funktionsgleichung einer Potenzfunktion ermitteln

Schüler Gymnasium, 10. Klassenstufe

Wie ermittelt man zu gegebenen Eigenschaften einer Funktion die Funktionsgleichung?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Potenzfunktionen (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableitungsregeln für Polynomfunktionen
Einführung Funktionen
Hyperbeln
Potenzfunktionen - Definitionsbereich
Potenzfunktionen - Einführung
Potenzfunktionen - Fortgeschritten

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Gegeben: 2 Punkte und allgemeine Funktionsgleichung
Gesucht: Potenzfunktion die durch die 2 Punkte verläuft.

Beispiel:

Die Potenzfunktion $f (x) = a \cdot x^{2} + b \cdot x$ geht durch die Punkte $A (1 | 9)$ und $B (2 | 20)$ .
Bestimmen Sie die Unbekannten $a, b$ in der Potenzfunktion.

Lösung:

Koordinaten des Punktes

A

in die Funktionsgleichung einsetzen:

f (1) = a \cdot 1^{2} + b \cdot 1 = a + b = 9

\Rightarrow a^{⋆} = 9 - b

Koordinaten des Punktes

B

in die Funktionsgleichung einsetzen:

f (2) = a \cdot 2^{2} + b \cdot 2 = 4 a + 2 b = 20

Einsetzen von

a^{⋆}

in die obige Gleichung:

\Rightarrow 4 (9 - b) + 2 b = 20

\Rightarrow 36 - 4 b + 2 b = 20

\Rightarrow - 2 b = - 16

\Rightarrow b = 8

Einsetzen von

b = 8 \in a^{⋆} :

\Rightarrow a = 9 - 8 = 1

Die gesuchten Parameter sind:

a = 1

und

b = 8

\Rightarrow f (x) = x^{2} + 8 x

Gegeben: 2 Punkte und allgemeine Funktionsgleichung
Gesucht: Potenzfunktion die durch die 2 Punkte verläuft.

Beispiel:

Das Schaubild einer Funktion $f (x) = a \cdot x^{r}$ geht durch die Punkte $P (2 | \frac{8}{3})$ und $Q (3 | 9)$ . Die Parameterwerte a und $r$ sind zu ermitteln.

Lösung:

Koordinaten des Punktes

P

in die Funktionsgleichung einsetzen:

f (2) = a \cdot 2^{r} = \frac{8}{3}

\Rightarrow 1

a \cdot 2^{r} = \frac{8}{3}

Koordinaten des Punktes

Q

in die Funktionsgleichung einsetzen:

f (3) = a \cdot 3^{r} = 9

\Rightarrow 2

a \cdot 3^{r} = 9

2. Gleichung durch 1. teilen ergibt:

\frac{a \cdot 3^{r}}{a \cdot 2^{r}} = \frac{9}{\frac{8}{3}}

\Leftrightarrow \frac{3^{r}}{2^{r}} = \frac{27}{8}

\Leftrightarrow {(\frac{3}{2})}^{r} = \frac{27}{8}

\Rightarrow r = 3

ist leicht zu erkennen.

Einsetzen von

r = 3 \in z . B

. die erste Gleichung ergibt:

a \cdot 2^{3} = \frac{8}{3}

\Rightarrow a = \frac{\frac{8}{3}}{2^{3}} = \frac{1}{3}

Gegeben: ein Punkt
Gesucht: Potenzgleichung bzw. Potenz

n

1. Beispiel:

Bestimmen sie $n$ so, dass der Graph der Potenzfunktion $f$ mit $f (x) = x^{n}$ durch den Punkt $P (1,2 | 1,728)$ verläuft.

Lösung

P

in die Funktionsgleichung einsetzen:

1,728 = {1,2}^{n}

Den Logarithmus auf beiden Seiten der Gleichung anwenden:

ln (1,728) = ln ({1,2}^{n})

Folgende Eigenschaft des Logarithmus anwenden:

{ln x}^{n} = n \cdot ln x

\Rightarrow ln (1,728) = n \cdot ln (1,2)

\Rightarrow n = \frac{ln (1,2)}{ln (1,728)} = 3

2. Beispiel:

Bestimmen sie $n$ so, dass der Graph der Potenzfunktion $f$ mit $f (x) = x^{n}$ durch den Punkt $P (- \frac{2}{5} | \frac{16}{625})$ verläuft.

P

in die Funktionsgleichung einsetzen:

\frac{16}{625} = {(- \frac{2}{5})}^{n}

Logarithmieren ist hier nicht möglich, denn

- \frac{2}{5}

ist eine negative Zahl.
Man behilft sich mit folgender Überlegung:

n

muss gerade sein, denn sonst hätte

\frac{16}{625}

kein positives Vorzeichen.

Wenn

n

eine gerade Zahl ist, kann man das negative Vorzeichen von

\frac{2}{5}

weg lassen:

\frac{16}{625} = {(\frac{2}{5})}^{n}

\Rightarrow ln (\frac{16}{625}) = {ln (\frac{2}{5})}^{n}

\Rightarrow ln (\frac{16}{625}) = n \cdot ln (\frac{2}{5})

\Rightarrow n = \frac{ln (\frac{16}{625})}{ln (\frac{2}{5})} = 4

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