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Verschiebung eines Graphen einer Potenzfunktion

Schüler Gymnasium, 10. Klassenstufe

Was passiert wenn man den Graphen einer Potenzfunktion verschiebt?

Was muss man machen um den Graphen nach links, rechts, oben oder unten zu verschieben? Wie sieht dabei die Funktionsgleichung aus?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Potenzfunktionen (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableitungsregeln für Polynomfunktionen
Potenzfunktionen - Definitionsbereich
Potenzfunktionen - Einführung
Potenzfunktionen - Fortgeschritten

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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Verschiebung nach oben/unten

Die Funktionsgleichung einer Potenzfunktion ist:

f (x) = a \cdot x^{n},

mit

a \in ℝ

und

n \in ℤ

Fügt man nun der Funktionsgleichung einen Summanden

c

hinzu

f (x) \to f (x) + c

dann verschiebt sich der Graph der Funktion nach oben (entlang der y-Achse) um diesen Summanden

c

(siehe Bild).

Zieht man von der Funktionsgleichung einen Summanden

c

f (x) \to f (x) - c

dann verschiebt sich der Graph der Funktion nach unten (entlang der y-Achse) um diesen Summanden

c

(siehe Bild).

oben_unten

Durch das Hinzufügen oder Abziehen eines Summanden

c

an bzw. von einer Potenzfunktion

f (x)

entsteht eine neue Funktion

g (x),

dessen Graphen gleich dem Graphen der Funktion

f (x)

ist verschoben nach oben bzw. unten um den Summanden

c

.

nach oben:

g (x) = f (x) + c = a \cdot x^{n} + c

nach unten:

g (x) = f (x) - c = a \cdot x^{n} - c

Beispiel

g (x) = {(x)}^{3} - 1

Der Graph von

g (x)

ist gleich dem Graphen von

f (x) = x^{3}

um 1 nach unten entlang der y-Achse verschoben.

Verschiebung nach links/rechts

Die Funktionsgleichung einer Potenzfunktion ist:

f (x) = a \cdot x^{n},

mit

a \in ℝ

und

n \in ℤ

Fügt man nun dem Argument

x

der Funktionsgleichung einen Summanden

b

hinzu

a \cdot x^{n} \to a \cdot {(x + b)}^{n}

dann verschiebt sich der Graph der Funktion nach links (entlang der x-Achse) um diesen Summanden

b

(siehe Bild).

Zieht man vom Argument der Funktionsgleichung einen Summanden

b

a \cdot x^{n} \to a \cdot {(x - b)}^{n}

dann verschiebt sich der Graph der Funktion nach rechts (entlang der y-Achse) um diesen Summanden

b

(siehe Bild).

rechts_links

Durch das Hinzufügen oder Abziehen eines Summanden

b

am bzw. vom Argument einer Potenzfunktion

f (x)

entsteht eine neue Funktion

g (x),

dessen Graphen gleich dem Graphen der Funktion

f (x)

ist verschoben nach links bzw. rechts um den Summanden

b

.

nach links:

g (x) = f (x + b) = a \cdot {(x + b)}^{n}

nach rechts:

g (x) = f (x - b) = a \cdot {(x - b)}^{n}

Beispiel

g (x) = {(x + 1)}^{3}

Der Graph von

g (x)

ist gleich dem Graphen von

f (x) = x^{3}

um 1 nach links entlang der x-Achse verschoben.

Zusammengesetzte Verschiebung

Verschiebt man eine Potenzfunktion einmal nach oben oder unten und dann einmal nach rechts oder links, dann ensteht dadurch wieder eine neue Funktion, die man im Allgemeinen eine Polynomfunktion nennt. Der Graph der neuen Funktion ensteht durch das jeweilige Verschieben des Graphen der Potenzfunktion nach oben oder unten und dann nach links oder rechts. Die Reihenfolge dabei ist egal.

Aus

f (x) = a \cdot x^{n}

ensteht dann

g (x) = a \cdot {(x + b)}^{n} + c

mit

a, b, c \in ℝ

1.Beispiel

f (x) = x^{3}

Verschiebung nach oben um

1 : f (x) = x^{3} + 1

Verschiebung nach rechts um

1 : g (x) = {(x - 1)}^{3} + 1

2.Beispiel

g (x) = {(x - 3)}^{3} - 3

Der Graph von

g (x)

ensteht durch Verschiebung des Graphen der Potenzfunktion

f (x) = x^{3}

um 3 nach rechts und dann um eine Verschiebung von 3 nach unten (siehe Bild).

zusammen

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