Vielfachheit einer Nullstelle

Die Vielfachheit einer Nullstelle einer Funktion ist eine Eigenschaft der Nullstelle bezüglich der Ableitung [mehr dazu] der Funktion.

Die Vielfachheit einer Nullstelle gibt auch an auf welcher Art die Funktion die x-Achse in einem Punkt "berührt" bzw. "schneidet".

1-fache Nullstelle: Schnittstelle mit der x-Achse.
2-fache Nullstelle: Berührstelle mit der x-Achse.
3-fache Nullstelle: Nullstelle ist ein Sattelpunkt.

Beispiele:

${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)={\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2-1}$
${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(1\right)=0\Rightarrow \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=1}$ ist Nullstelle.
${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\text{'}\left(1\right)=2\Rightarrow \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=1}$ ist keine Nullstelle der ersten Ableitung [mehr dazu].



${\displaystyle \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=1}$ ist 1-fache Nullstelle. In ${\displaystyle \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=1}$ schneidet die Funktion die x-Achse.



${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)={(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-1)}^2}$
${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(1\right)=0\Rightarrow \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=1}$ ist Nullstelle.
${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\text{'}\left(1\right)=0\Rightarrow \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=1}$ ist auch Nullstelle der ersten Ableitung [mehr dazu].
${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\text{'}\text{'}\left(1\right)=2\Rightarrow \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=1}$ ist keine Nullstelle der zweiten Ableitung [mehr dazu].



${\displaystyle \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=1}$ ist 2-fache Nullstelle. In ${\displaystyle \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=1}$ berührt die Funktion die x-Achse bzw die x-Achse tangiert den Graphen der Funktion.



${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)={(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-1)}^3}$
${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(1\right)=0\Rightarrow \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=1}$ ist Nullstelle.
${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\text{'}\left(1\right)=0\Rightarrow \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=1}$ ist auch Nullstelle der ersten Ableitung [mehr dazu].
${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\text{'}\text{'}\left(1\right)=0\Rightarrow \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=1}$ ist auch Nullstelle der zweiten Ableitung [mehr dazu].
${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\text{'}\text{'}\text{'}\left(1\right)=6\Rightarrow \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=1}$ ist keine Nullstelle der dritten Ableitung [mehr dazu].



${\displaystyle \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=1}$ ist 3-fache Nullstelle. In ${\displaystyle \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=1}$ hat die Funktion einen Sattelpunkt.