Quadratische Ergänzung

Die quadratische Ergänzung ist eine Methode um die allgemeinen Form einer quadratischen Funktion ${\displaystyle \mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{c<mspace\; width="0.12em"></mspace>} }$ in die Scheitelpunktform ${\displaystyle \mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}{(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}^2+\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>} }$ zu bringen.

Ziel ist es also, die Terme der quadratischen Funktion so zu verändern (addieren und subtrahieren von "Quadrate"), dass ein Teil der Terme zusammen ein Binom ergeben. Dieses Binom kann dann mit Hilfe der binomischen Formeln zu einem Produkt zusammengefasst werden.

Beispiel

Die Funktion ${\displaystyle \mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}={\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+2\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>} }$ kann quadratisch ergänzt werden zu ${\displaystyle \mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}={(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1)}^2-1}$

Wie geht man vor?

Man vergleicht den Funktionsterm ${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+2\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ mit einer binomischen Gleichung:



Aus ${\displaystyle {\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2={\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}$ folgt, dass ${\displaystyle \mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$.

Aus ${\displaystyle 2\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=2\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ und ${\displaystyle \mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ folgt, dass ${\displaystyle 2\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=2\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ und daraus ${\displaystyle \mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=1}$

Damit ist die quadratische Ergänzung gefunden worden, nämlich ${\displaystyle {\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2=1^2=1}$

Man addiert nun der Funktionsgleichung das "Quadrat" ${\displaystyle {\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2=1}$ einmal dazu und subtrahiert es gleichzeitig auch einmal, damit die Funktionsvorschrift nicht verändert wird.

${\displaystyle \mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}={\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+2\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1-1}$

Man fasst dann die Terme zusammen die ein Binom ergeben:

${\displaystyle \mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=({\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+2\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1)-1}$

Mit der ersten binomischen Formel ergibt sich die quadratisch ergänzte Funktionsgleichung:

${\displaystyle \mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}={(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1)}^2-1}$