Mitternachtsformel

Die allgemeine Lösungsformel für quadratische Gleichungen (auch Mitternachtsformel oder Mondscheinformel genannt) ist eine praktische Hilfe.

Sie ist immer anwendbar, wenn eine quadratische Gleichung der Form

${\displaystyle 0=\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{c<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

gelöst werden soll.

${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{1,2}}=\frac{-\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\pm \sqrt{{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2-4\cdot \mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot \mathrm{c<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}{2\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$


Dieser Formel entspringt auch die Diskriminante, mit der die Anzahl der Lösungen einer quadratischen Gleichung bestimmt werden kann.

Der Term unter der Wurzel [mehr dazu] der Mitternachtsformel ist die Diskriminante:

${\displaystyle \mathrm{D<mspace\; width="0.12em"></mspace>}={\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2-4\cdot \mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot \mathrm{c<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

Es gilt:

${\displaystyle \mathrm{D<mspace\; width="0.12em"></mspace>}>0\Rightarrow 2}$ Lösungen
${\displaystyle \mathrm{D<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=0\Rightarrow 1}$ Lösung
${\displaystyle \mathrm{D<mspace\; width="0.12em"></mspace>}<0\Rightarrow }$ keine Lösung